Alink漫谈(十五) ：多层感知机 之 迭代优化

Alink漫谈(十五) ：多层感知机 之 迭代优化

目录

• Alink漫谈(十五) ：多层感知机 之 迭代优化
  • 0x00 摘要
  • 0x01 前文回顾
    • 1.1 基本概念
    • 1.2 误差反向传播算法
    • 1.3 总体逻辑
  • 0x02 训练神经网络
    • 2.1 初始化模型
    • 2.2 压缩数据
    • 2.3 生成优化目标函数
    • 2.4 生成目标函数中的拓扑模型
      • 2.4.1 AffineLayerModel
      • 2.4.2 FuntionalLayerModel
      • 2.4.3 SoftmaxLayerModelWithCrossEntropyLoss
      • 2.4.3 最终模型
    • 2.5 生成优化器
  • 0x03 L-BFGS训练
    • 3.1 CalcGradient 计算梯度
      • 3.1.1 目标函数
      • 3.1.2 计算梯度
        • 3.1.2.1 计算各层的输出
          • AffineLayerModel.eval
          • FuntionalLayerModel.eval
          • SoftmaxLayerModelWithCrossEntropyLoss.eval
        • 3.1.2.2 计算损失
        • 3.1.2.3 计算delta
          • AffineLayerModel
          • FuntionalLayerModel
        • 3.1.2.4 计算梯度
          • AffineLayerModel
          • FuntionalLayerModel
    • 3.2 CalDirection 计算方向
    • 3.3 CalcLosses 计算损失
    • 3.4 UpdateModel 更新模型
  • 0x04 输出模型
  • 0xFF 参考

0x00 摘要

Alink 是阿里巴巴基于实时计算引擎 Flink 研发的新一代机器学习算法平台，是业界首个同时支持批式算法、流式算法的机器学习平台。本文和前文将带领大家来分析Alink中多层感知机的实现。

因为Alink的公开资料太少，所以以下均为自行揣测，肯定会有疏漏错误，希望大家指出，我会在日后随时更新。

0x01 前文回顾

从前文 ALink漫谈(十四) ：多层感知机 之 总体架构 我们了解了多层感知机的概念以及Alink中的整体架构，下面我们就要开始介绍如何优化。

1.1 基本概念

我们再次温习下基本概念：

• 神经元输入：类似于线性回归 z = w1x1+ w2x2 +⋯ + wnxn = wT・x（linear threshold unit (LTU)）。

• 神经元输出：激活函数，类似于二值分类，模拟了生物学中神经元只有激发和抑制两种状态。增加偏值，输出层哪个节点权重大，输出哪一个。

• 采用Hebb准则，下一个权重调整方法参考当前权重和训练效果。

• 如何自动化学习计算权重——backpropagation，即首先正向做一个计算，根据当前输出做一个error计算，作为指导信号反向调整前一层输出权重使其落入一个合理区间，反复这样调整到第一层，每轮调整都有一个学习率，调整结束后，网络越来越合理。

1.2 误差反向传播算法

基于误差反向传播算法（backpropagation，BP）的前馈神经网络训练过程可以分为以下三步：

1. 在前向传播时计算每一层的净输入z(l)和激活值a(l)，直至最后一层；
2. (反向传播阶段)将激励响应同训练输入对应的目标输出求差，从而获得隐层和输出层的响应误差。用误差反向传播计算每一层的误差项 δ(l)；
3. 对于每个突触上的权重，按照以下步骤进行更新：将输入激励和响应误差相乘，从而获得权重的梯度；将这个梯度乘上一个比例并取反后加到权重上。即计算每一层参数的偏导数，并更新参数。

这个比例(百分比)将会影响到训练过程的速度和效果，因此称为”训练因子”。梯度的方向指明了误差扩大的方向，因此在更新权重的时候需要对其取反，从而减小权重引起的误差。

1.3 总体逻辑

我们回顾下总体逻辑。

0x02 训练神经网络

这部分是重头戏，所以要从总体逻辑中剥离出来单独说。

FeedForwardTrainer.train 函数会完成神经网络的训练，即：

DataSet<DenseVector> weights = trainer.train(trainData, getParams());

其逻辑大致如下：

• 1）初始化模型 initCoef = initModel(data, this.topology);
• 2）把训练数据压缩成向量，trainData = stack()。这里应该是为了减少传输数据量。需要注意，其把输入数据从二元组<label index, vector> 转换为三元组 Tuple3.of((double) count, 0., stacked);
• 3）生成优化目标函数 new AnnObjFunc(topology...)
• 4）构建训练器 FeedForwardTrainer
• 5）训练器会基于目标函数构建优化器 Optimizer optimizer = new Lbfgs，即使用 L-BFGS 来训练神经网络；

2.1 初始化模型

初始化模型相关代码如下：

DataSet<DenseVector> initCoef = initModel(data, this.topology); // 随机初始化权重系数
optimizer.initCoefWith(initCoef);

public void initCoefWith(DataSet<DenseVector> initCoef) {
	this.coefVec = initCoef; // 就是赋值在内部变量上
}

这里需要和线性回归比较下：

• 线性回归中，假如有两个特征，则初始系数为 coef = {DenseVector} "0.001 0.0 0.0 0.0"，4个数值具体是 "权重, b, w1, w2"。

• 多层感知机这里，初始化系数则是一个 DenseVector。

initModel 主要就是随机初始化权重系数。精华函数在 topology.getWeightSize() 部分。

private DataSet<DenseVector> initModel(DataSet<?> inputRel, final Topology topology) {
        if (initialWeights != null) {
          ......
        } else {
            return BatchOperator.getExecutionEnvironmentFromDataSets(inputRel).fromElements(0)
                .map(new RichMapFunction<Integer, DenseVector>() {
                    ......
                    @Override
                    public DenseVector map(Integer value) throws Exception {
                        // 这里是精华，获取了系数的size
                        DenseVector weights = DenseVector.zeros(topology.getWeightSize());                           

                        for (int i = 0; i < weights.size(); i++) {
                            weights.set(i, random.nextGaussian() * initStdev);//随机初始化
                        }
                        return weights;
                    }
                })
                .name("init_weights");
        }
}

topology.getWeightSize() 调用的是 FeedForwardTopology的函数，就是遍历各层，累加求系数和。

@Override
public int getWeightSize() {
        int s = 0;
        for (Layer layer : layers) { //遍历各层
            s += layer.getWeightSize();
        }
        return s;
}

AffineLayer系数大小如下：

@Override
public int getWeightSize() {
		return numIn * numOut + numOut;
}

FuntionalLayer 没有系数

@Override
public int getWeightSize() {
	return 0;
}

SoftmaxLayerWithCrossEntropyLoss 没有系数

@Override
public int getWeightSize() {
	return 0;
}

回顾本例对应拓扑：

this = {FeedForwardTopology@4951}
 layers = {ArrayList@4944}  size = 4
      0 = {AffineLayer@4947} // 仿射层
       numIn = 4
       numOut = 5
      1 = {FuntionalLayer@4948}
       activationFunction = {SigmoidFunction@4953}  // 激活函数
      2 = {AffineLayer@4949} // 仿射层
       numIn = 5
       numOut = 3
      3 = {SoftmaxLayerWithCrossEntropyLoss@4950}  // 激活函数

所以最后 DenseVector 向量大小是两个仿射层的和（4 + 5 * 5）+ (5 + 3 * 3) = 43。

2.2 压缩数据

这里把输入数据二元组 <label index, vector> 转换，压缩到 DenseVector中。这里压缩的目的应该是为了减少传输数据量。

如果输入是：

batchData = {ArrayList@11527}  size = 64
 0 = {Tuple2@11536} "(2.0,6.5 2.8 4.6 1.5)"
  f0 = {Double@11572} 2.0
  f1 = {DenseVector@11573} "6.5 2.8 4.6 1.5"
 1 = {Tuple2@11537} "(1.0,6.1 3.0 4.9 1.8)"
  f0 = {Double@11575} 1.0
  f1 = {DenseVector@11576} "6.1 3.0 4.9 1.8"
.....

则最终输出的压缩数据是：

batch = {Tuple3@11532}
 f0 = {Double@11578} 18.0
 f1 = {Double@11579} 0.0
 f2 = {DenseVector@11580} "6.5 2.8 4.6 1.5 6.1 3.0 4.9 1.8 7.3 2.9 6.3 1.8 5.7 2.8 4.5 1.3 6.4 2.8 5.6 2.1 6.7 2.5 5.8 1.8 6.3 3.3 4.7 1.6 7.2 3.6 6.1 2.5 7.2 3.0 5.8 1.6 4.9 2.4 3.3 1.0 7.4 2.8 6.1 1.9 6.5 3.2 5.1 2.0 6.6 2.9 4.6 1.3 7.9 3.8 6.4 2.0 5.2 2.7 3.9 1.4 6.4 2.7 5.3 1.9 6.8 3.0 5.5 2.1 5.7 2.5 5.0 2.0 2.0 1.0 1.0 2.0 1.0 1.0 2.0 1.0 1.0 2.0 1.0 1.0 2.0 1.0 2.0 1.0 1.0 1.0"

具体代码如下：

static DataSet<Tuple3<Double, Double, Vector>>
    stack(DataSet<Tuple2<Double, DenseVector>> data ...) {

        return data
            .mapPartition(new MapPartitionFunction<Tuple2<Double, DenseVector>, Tuple3<Double, Double, Vector>>() {
                @Override
                public void mapPartition(Iterable<Tuple2<Double, DenseVector>> samples,
                                         Collector<Tuple3<Double, Double, Vector>> out) throws Exception {
                    List<Tuple2<Double, DenseVector>> batchData = new ArrayList<>(batchSize);
                    int cnt = 0;
                    Stacker stacker = new Stacker(inputSize, outputSize, onehot);
                    for (Tuple2<Double, DenseVector> sample : samples) {
                        batchData.set(cnt, sample);
                        cnt++;
                        if (cnt >= batchSize) { // 如果已经大于默认的数据块大小，就直接发送
                            // 把batchData的x-vec压缩到DenseVector中
                            Tuple3<Double, Double, Vector> batch = stacker.stack(batchData, cnt);
                            out.collect(batch);
                            cnt = 0;
                        }
                    }

                    // 如果压缩成功，则输出
                    if (cnt > 0) { // 没有大于默认数据块大小，也发送。cnt就是目前的数据块大小，针对本实例，是19，这也是后面能看到 matrix 维度 19 的来源。
                        Tuple3<Double, Double, Vector> batch = stacker.stack(batchData, cnt);
                        out.collect(batch);
                    }
                }
            })
            .name("stack_data");
}

2.3 生成优化目标函数

回顾关于损失函数和目标函数的说明：

• 损失函数：计算的是一个样本的误差；
• 代价函数：是整个训练集上所有样本误差的平均，经常和损失函数混用；
• 目标函数：代价函数 + 正则化项；

多层感知机中生成目标函数代码如下：

final AnnObjFunc annObjFunc = new AnnObjFunc(topology, inputSize, outputSize, onehotLabel, optimizationParams);

AnnObjFuncs是多层感知机优化的目标函数，其定义如下：

• topology 就是神经网络的拓扑；
• stacker 是用来压缩解压（后续L-BFGS是向量操作，所以也需要从矩阵到向量来回转换）；
• topologyModel 是计算模型；

我们可以看到，在 AnnObjFunc 的 API 中调用时候，会看 AnnObjFunc.topologyModel 是否有值，如果没有就生成。

public class AnnObjFunc extends OptimObjFunc {
    private Topology topology;
    private Stacker stacker;
    private transient TopologyModel topologyModel = null;

    @Override
    protected double calcLoss(Tuple3<Double, Double, Vector> labledVector, DenseVector coefVector) {
        // 看 AnnObjFunc.topologyModel 是否有值，如果没有就生成
        if (topologyModel == null) {
            topologyModel = topology.getModel(coefVector);
        } else {
            topologyModel.resetModel(coefVector);
        }
        Tuple2<DenseMatrix, DenseMatrix> unstacked = stacker.unstack(labledVector);
        return topologyModel.computeGradient(unstacked.f0, unstacked.f1, null);
    }

    @Override
    protected void updateGradient(Tuple3<Double, Double, Vector> labledVector, DenseVector coefVector, DenseVector updateGrad) {
        // 看 AnnObjFunc.topologyModel 是否有值，如果没有就生成
        if (topologyModel == null) {
            topologyModel = topology.getModel(coefVector);
        } else {
            topologyModel.resetModel(coefVector);
        }
        Tuple2<DenseMatrix, DenseMatrix> unstacked = stacker.unstack(labledVector);
        topologyModel.computeGradient(unstacked.f0, unstacked.f1, updateGrad);
    }
}

2.4 生成目标函数中的拓扑模型

如上所述，这个具体生成是在 AnnObjFunc 的 API 中调用时候，会看 AnnObjFunc.topologyModel 是否有值，如果没有就生成。这里会根据 FeedForwardTopology 的 layers 来生成拓扑模型。

public TopologyModel getModel(DenseVector weights) {
	FeedForwardModel feedForwardModel = new FeedForwardModel(this.layers);
	feedForwardModel.resetModel(weights);
	return feedForwardModel;
}

拓扑模型定义如下，能够看到里面有具体层 & 层模型。

public class FeedForwardModel extends TopologyModel {
    private List<Layer> layers; //具体层
    private List<LayerModel> layerModels; //层模型
    /**
     * Buffers of outputs of each layers.
     */
    private transient List<DenseMatrix> outputs = null;
    /**
     * Buffers of deltas of each layers.
     */
    private transient List<DenseMatrix> deltas = null;

    public FeedForwardModel(List<Layer> layers) {
        this.layers = layers;
        this.layerModels = new ArrayList<>(layers.size());
        for (int i = 0; i < layers.size(); i++) {
            layerModels.add(layers.get(i).createModel());
        }
    }
}

优化函数是根据每一层来建立模型，比如

public LayerModel createModel() {
	return new AffineLayerModel(this);
}

下面就看看具体各层模型的状况。

2.4.1 AffineLayerModel

定义如下，其具体函数比如 eval，computePrevDelta，grad 我们后续会提及。

public class AffineLayerModel extends LayerModel {
    private DenseMatrix w;
    private DenseVector b;

    // buffer for holding gradw and gradb
    private DenseMatrix gradw;
    private DenseVector gradb;

    private transient DenseVector ones = null;
}

2.4.2 FuntionalLayerModel

定义如下，其具体函数比如 eval，computePrevDelta，grad 我们后续会提及。

public class FuntionalLayerModel extends LayerModel {
    private FuntionalLayer layer;
}

2.4.3 SoftmaxLayerModelWithCrossEntropyLoss

这个就是针对最终输出层。

SoftmaxWithLoss层包含softmax和求交叉熵两部分。

对于softmax的输入向量 z，其输出向量的第 k 个值为：

\[a_k = Softmax(z)_k = \frac{e^{Z_k}}{\sum_i e^{Z_i}}
\]

而交叉熵损失函数：

\[Loss = - \sum_i y_i . ln(a_i)
\]

损失函数对 a 求导，可得到：

\[δ_L^i = \frac{∂Loss}{∂Z_i} = a_i - y_i
\]

具体代码如下，基本就是数学公式的实现。

public class SoftmaxLayerModelWithCrossEntropyLoss extends LayerModel
    implements AnnLossFunction {
    @Override
    public double loss(DenseMatrix output, DenseMatrix target, DenseMatrix delta) {
        int batchSize = output.numRows();
        MatVecOp.apply(output, target, delta, (o, t) -> t * Math.log(o));
        double loss = -(1.0 / batchSize) * delta.sum();
        MatVecOp.apply(output, target, delta, (o, t) -> o - t);
        return loss;
    }
}

2.4.3 最终模型

最终的模型如下：

this = {FeedForwardModel@10575} 

     layers = {ArrayList@10576}  size = 4
          0 = {AffineLayer@10601}
          1 = {FuntionalLayer@10335}
          2 = {AffineLayer@10602}
          3 = {SoftmaxLayerWithCrossEntropyLoss@10603} 

     layerModels = {ArrayList@10579}  size = 4
          0 = {AffineLayerModel@10581}
          1 = {FuntionalLayerModel@10433}
          2 = {AffineLayerModel@10582}
          3 = {SoftmaxLayerModelWithCrossEntropyLoss@10583} 

     outputs = null
     deltas = null

用图形化简要表示如下（FeedForwardModel中省略了层）：

2.5 生成优化器

回顾下概念。

针对目标函数最普通的优化是穷举法，对各个可能的权值遍历，找寻使损失最小的一组，但是这种方法会陷入嵌套循环里，使得运行速率大打折扣，于是就有了优化器。优化器的目的使快速找到目标函数最优解。

损失函数的目的是在训练过程中找到最合适的一组权值序列，也就是让损失函数降到尽可能低。优化器或优化算法用于将损失函数最小化，在每个训练周期或每轮后更新权重和偏置值，直到损失函数达到全局最优。

我们要寻找损失函数的最小值，首先一定有一个初始的权值，伴随一个计算得出来的损失。那么我们要想到损失函数最低点，要考虑两点：往哪个方向前进；前进多少距离。

因为我们想让损失值下降得最快，肯定是要找当前损失值在损失函数的切线方向，这样走最快。如果是在三维的损失函数上面，则更加明显，三维平面上的点做切线会产生无数个方向，而梯度就是函数在某个点无数个变化的方向中变化最快的那个方向，也就是斜率最大的那个方向。梯度是有方向的，负梯度方向就是下降最快的方向。

那么梯度下降是怎么运行的呢，刚才我们找到了逆梯度方向来作为我们前进的方向，接下来只需要解决走多远的问题。于是我们引入学习率，我们要走的距离就是梯度的大小*学习率。因为越优化梯度会越小，因此移动的距离也会越来越短。学习率的设置不能太大，否则可能会跳过最低点而导致梯度爆炸或者梯度消失；也不能设置太小，否则梯度下降可能十分缓慢。

优化算法有两种：

• 一阶优化算法。这些算法使用与参数相关的梯度值最小化或最大化代价函数。一阶导数告诉我们函数是在某一点上递减还是递增，简而言之，它给出了与曲面切线。

• 二阶优化算法。这些算法使用二阶导数来最小化代价函数，也称为Hessian。由于二阶导数的计算成本很高，所以不常使用二阶导数。二阶导数告诉我们一阶导数是递增的还是递减的，这表示了函数的曲率。二阶导数为我们提供了一个与误差曲面曲率相接触的二次曲面。

多层感知机这里使用L-BFGS优化器 来训练神经网络。

Optimizer optimizer = new Lbfgs(
            data.getExecutionEnvironment().fromElements(annObjFunc),
            trainData,
            BatchOperator
                .getExecutionEnvironmentFromDataSets(data)
                .fromElements(inputSize),
            optimizationParams
        );
optimizer.initCoefWith(initCoef);

0x03 L-BFGS训练

这部分又比较复杂，需要单独拿出来说，就是用优化器来训练。

optimizer.optimize()
  .map(new MapFunction<Tuple2<DenseVector, double[]>, DenseVector>() {
    @Override
    public DenseVector map(Tuple2<DenseVector, double[]> value) throws Exception {
        return value.f0;
    }
});

关于 L-BFGS 的细节，可以参见前面文章。Alink漫谈(十一) ：线性回归 之 L-BFGS优化。

这里把 Lbfgs 类拿出来概要说明：

public class Lbfgs extends Optimizer {
    public DataSet <Tuple2 <DenseVector, double[]>> optimize() {
       DataSet <Row> model = new IterativeComQueue()
           ......
          .add(new CalcGradient())
           ......
          .add(new CalDirection(...))
          .add(new CalcLosses(...))
           ......
          .add(new UpdateModel(...))
           ......
          .exec();
    }
}

能够看到其中几个关键步骤：

• CalcGradient() 计算梯度
• CalDirection(...) 计算方向
• CalcLosses(...) 计算损失
• UpdateModel(...) 更新模型

算法框架都是基本不变的，所差别的就是具体目标函数和损失函数的不同。比如线性回归采用的是UnaryLossObjFunc，损失函数是 SquareLossFunc。

我们把多层感知机特殊之处填充关键步骤，得到与线性回归的区别。

• CalcGradient() 计算梯度
  • 1）调用 AnnObjFunc.updateGradient；
    • 1.1）调用 目标函数中拓扑模型 topologyModel.computeGradient 来计算
      • 1.1.1）计算各层的输出；forward(data, true)
      • 1.1.2）计算输出层损失；labelWithError.loss
      • 1.1.3）计算各层的Delta；layerModels.get(i).computePrevDelta
      • 1.1.4）计算各层梯度；`layerModels.get(i).grad
• CalDirection(...) 计算方向
  • 这里的实现没有用到目标函数的拓扑模型。
• CalcLosses(...) 计算损失
  • 1）调用 AnnObjFunc.updateGradient；
    • 1.1）调用 目标函数中拓扑模型 topologyModel.computeGradient 来计算
      • 1.1.1）计算各层的输出；forward(data, true)
      • 1.1.2）计算输出层损失；labelWithError.loss
• UpdateModel(...) 更新模型
  • 这里的实现没有用到目标函数的拓扑模型。

3.1 CalcGradient 计算梯度

CalcGradient.calc 函数中会调用到目标函数的计算梯度功能。

// calculate local gradient
Double weightSum = objFunc.calcGradient(labledVectors, coef, grad.f0);

objFunc.calcGradient函数就是基类 OptimObjFunc 的实现，此处才会调用到 AnnObjFunc.updateGradient 的具体实现。

updateGradient(labelVector, coefVector, grad);

3.1.1 目标函数

回顾目标函数定义：

public class AnnObjFunc extends OptimObjFunc {

    protected void updateGradient(Tuple3<Double, Double, Vector> labledVector, DenseVector coefVector, DenseVector updateGrad) {
        if (topologyModel == null) {
            topologyModel = topology.getModel(coefVector);
        } else {
            topologyModel.resetModel(coefVector);
        }
        Tuple2<DenseMatrix, DenseMatrix> unstacked = stacker.unstack(labledVector);
        topologyModel.computeGradient(unstacked.f0, unstacked.f1, updateGrad);
    }
}

• 首先是生成拓扑模型；这步骤已经在前面提到了。

• 然后是 unstacked = stacker.unstack(labledVector);，解压数据，返回 return Tuple2.of(features, labels);。

• 最后就是计算梯度；这是 FeedForwardModel 类实现的。

3.1.2 计算梯度

计算梯度（此函数也负责计算损失）代码在 FeedForwardModel.computeGradient，大致逻辑如下：

CalcGradient.calc 会调用 objFunc.calcGradient（OptimObjFunc 的实现）

• 1）调用 AnnObjFunc.updateGradient；
  • 1.1）调用 目标函数中拓扑模型 topologyModel.computeGradient 来计算
    • 1.1.1）计算各层的输出；forward(data, true)
    • 1.1.2）计算输出层损失；labelWithError.loss
    • 1.1.3）计算各层的Delta；layerModels.get(i).computePrevDelta
    • 1.1.4）计算各层梯度；`layerModels.get(i).grad

代码如下：

public double computeGradient(DenseMatrix data, DenseMatrix target, DenseVector cumGrad) {
        // data 是 x，target是y
        // 计算各层的输出
        outputs = forward(data, true); 

        int currentBatchSize = data.numRows();
        if (deltas == null || deltas.get(0).numRows() != currentBatchSize) {
            deltas = new ArrayList<>(layers.size() - 1);
            int inputSize = data.numCols();
            for (int i = 0; i < layers.size() - 1; i++) {
                int outputSize = layers.get(i).getOutputSize(inputSize);
                deltas.add(new DenseMatrix(currentBatchSize, outputSize));
                inputSize = outputSize;
            }
        }
        int L = layerModels.size() - 1;
        AnnLossFunction labelWithError = (AnnLossFunction) this.layerModels.get(L);
        // 计算损失
        double loss = labelWithError.loss(outputs.get(L), target, deltas.get(L - 1));
        if (cumGrad == null) {
            return loss; // 如果只计算损失，则直接返回。
        }
        // 计算Delta；
        for (int i = L - 1; i >= 1; i--) {
            layerModels.get(i).computePrevDelta(deltas.get(i), outputs.get(i), deltas.get(i - 1));
        }
        int offset = 0;
        // 计算梯度；
        for (int i = 0; i < layerModels.size(); i++) {
            DenseMatrix input = i == 0 ? data : outputs.get(i - 1);
            if (i == layerModels.size() - 1) {
                layerModels.get(i).grad(null, input, cumGrad, offset);
            } else {
                layerModels.get(i).grad(deltas.get(i), input, cumGrad, offset);
            }
            offset += layers.get(i).getWeightSize();
        }
        return loss;
}

3.1.2.1 计算各层的输出

回忆下示例代码，我们设置神经网络是：

.setLayers(new int[]{4, 5, 3})

具体说就是调用各层模型的 eval 函数，其中第一层不好写入循环，所以单独写出。

public class FeedForwardModel extends TopologyModel {
    public List<DenseMatrix> forward(DenseMatrix data, boolean includeLastLayer) {
        .....
        layerModels.get(0).eval(data, outputs.get(0));
        int end = includeLastLayer ? layers.size() : layers.size() - 1;
        for (int i = 1; i < end; i++) {
            layerModels.get(i).eval(outputs.get(i - 1), outputs.get(i));
        }
        return outputs;
	}
}

具体各层调用如下：

AffineLayerModel.eval

这就是简单的仿射变换 WX + b，然后放入output。其中

@Override
public void eval(DenseMatrix data, DenseMatrix output) {
        int batchSize = data.numRows();
        for (int i = 0; i < batchSize; i++) {
            for (int j = 0; j < this.b.size(); j++) {
                output.set(i, j, this.b.get(j));
            }
        }
        BLAS.gemm(1., data, false, this.w, false, 1., output);
}

其中 w, b 都是预置的。

this = {AffineLayerModel@10581}
 w = {DenseMatrix@10592} "mat[4,5]:\n  0.07807905200944776,-0.03040913035034301,.....\n"
 b = {DenseVector@10593} "-0.058043439717701296 0.1415366160323592 0.017773419483873353 -0.06802435221045448 0.022751460286303204"
 gradw = {DenseMatrix@10594} "mat[4,5]:\n  0.0,0.0,0.0,0.0,0.0\n  0.0,0.0,0.0,0.0,0.0\n  0.0,0.0,0.0,0.0,0.0\n  0.0,0.0,0.0,0.0,0.0\n"
 gradb = {DenseVector@10595} "0.0 0.0 0.0 0.0 0.0"
 ones = null

FuntionalLayerModel.eval

实现如下

public void eval(DenseMatrix data, DenseMatrix output) {
        for (int i = 0; i < data.numRows(); i++) {
            for (int j = 0; j < data.numCols(); j++) {
                output.set(i, j, this.layer.activationFunction.eval(data.get(i, j)));
            }
        }
}

类变量为

this = {FuntionalLayerModel@10433}
 layer = {FuntionalLayer@10335}
  activationFunction = {SigmoidFunction@10755}

输入是

data = {DenseMatrix@10642} "mat[19,5]:\n  0.09069152145840428,-0.4117319046979133,-0.273491600786707,-0.3638766081567865,-0.17552469317567304\n"
 m = 19
 n = 5
 data = {double[95]@10668}

其中，activationFunction 就调用到了 SigmoidFunction.eval。

public class SigmoidFunction implements ActivationFunction {
    @Override
    public double eval(double x) {
        return 1.0 / (1 + Math.exp(-x));
    }
}

SoftmaxLayerModelWithCrossEntropyLoss.eval

这里就是计算了最终输出。

    public void eval(DenseMatrix data, DenseMatrix output) {
        int batchSize = data.numRows();
        for (int ibatch = 0; ibatch < batchSize; ibatch++) {
            double max = -Double.MAX_VALUE;
            for (int i = 0; i < data.numCols(); i++) {
                double v = data.get(ibatch, i);
                if (v > max) {
                    max = v;
                }
            }
            double sum = 0.;
            for (int i = 0; i < data.numCols(); i++) {
                double res = Math.exp(data.get(ibatch, i) - max);
                output.set(ibatch, i, res);
                sum += res;
            }
            for (int i = 0; i < data.numCols(); i++) {
                double v = output.get(ibatch, i);
                output.set(ibatch, i, v / sum);
            }
        }
    }

3.1.2.2 计算损失

代码是：

AnnLossFunction labelWithError = (AnnLossFunction) this.layerModels.get(L);
double loss = labelWithError.loss(outputs.get(L), target, deltas.get(L - 1));
if (cumGrad == null) {
	return loss; // 可以直接返回
}

如果不需要计算梯度，则直接返回，否则继续进行。我们这里继续执行。

具体就是调用SoftmaxLayerModelWithCrossEntropyLoss的损失函数，就是输出层的损失。

output就是输出层，target就是label y。计算损失几乎和常规一样，只不过多了一个除以 batchSize。

public double loss(DenseMatrix output, DenseMatrix target, DenseMatrix delta) {
        int batchSize = output.numRows();
        MatVecOp.apply(output, target, delta, (o, t) -> t * Math.log(o));
        double loss = -(1.0 / batchSize) * delta.sum();
        MatVecOp.apply(output, target, delta, (o, t) -> o - t);
        return loss;
}

3.1.2.3 计算delta

梯度下降法需要计算损失函数对参数的偏导数，如果用链式法则对每个参数逐一求偏导，涉及到矩阵微分，效率比较低。所以在神经网络中经常使用反向传播算法来高效地计算梯度。具体就是在利用误差反向传播算法计算出每一层的误差项后，就可以得到每一层参数的梯度。

我们定义delta为隐含层的加权输入影响总误差的程度，即 delta_i 表示 第l层神经元的误差项，它用来表示第l层神经元对最终损失的影响，也反映了最终损失对第l层神经元的敏感程度。

上面这个公式就是误差的反向传播公式！因为第l层的误差项可以通过第l+1层的误差项计算得到。反向传播算法的含义是：第 l 层的一个神经元的误差项等于该神经元激活函数的梯度，再乘上所有与该神经元相连接的第l+1层的神经元的误差项的权重和。这里 W 是所有权重与偏置的集合)。

这个可能不好理解，找到三种解释，也许能够帮助大家增加理解：

• 因为梯度下降法是沿梯度（斜率）的反方向移动，所以我们往回倒，就要乘以梯度，再爬回去。
• 或者 可以看做错误（delta）的反向传递。经过一个线就乘以线的权重，经过点就乘以节点的偏导（sigmoid的偏导形式简洁）。
• 或者这么理解：输出层误差在转置权重矩阵的帮助下，传递到了隐藏层，这样我们就可以利用间接误差来更新与隐藏层相连的权重矩阵。权重矩阵在反向传播的过程中同样扮演着运输兵的作用，只不过这次是搬运的输出误差，而不是输入信号。

具体代码如下

for (int i = L - 1; i >= 1; i--) {
	layerModels.get(i).computePrevDelta(deltas.get(i), outputs.get(i), deltas.get(i - 1));
}

需要注意的是：

• 最后一层的delta已经在前一个loss计算出来，通过loss函数参数存储在 deltas.get(L - 1) 之中；
• 循环是从后数第二层向前计算；

本实例中，output是四层（0~3），deltas是三层（0~2）。

用output第4层的数值，来计算deltas第3层的数值。

用output第3层的数值 和 deltas第3层的数值，来计算deltas第2层的数值。具体细化到每层：

AffineLayerModel

public void computePrevDelta(DenseMatrix delta, DenseMatrix output, DenseMatrix prevDelta) {
	BLAS.gemm(1.0, delta, false, this.w, true, 0., prevDelta);
}

gemm函数作用是 C := alpha * A * B + beta * C . 这里可能是以为 b 小，就省略了计算。（存疑，如果有哪位朋友知道原因，请告知，谢谢）

public static void gemm(double alpha, DenseMatrix matA, boolean transA, DenseMatrix matB, boolean transB, double beta, DenseMatrix matC)

在这里是：1.0 * delta * this.w + 0 * prevDelta。delta 不转置，this.w 转置

FuntionalLayerModel

这里是 导数 * delta，导数就是变化率。

public void computePrevDelta(DenseMatrix delta, DenseMatrix output, DenseMatrix prevDelta) {
        for (int i = 0; i < delta.numRows(); i++) {
            for (int j = 0; j < delta.numCols(); j++) {
                double y = output.get(i, j);
                prevDelta.set(i, j, this.layer.activationFunction.derivative(y) * delta.get(i, j));
            }
        }
}

激活函数是 The sigmoid function. f(x) = 1 / (1 + exp(-x)).

public class SigmoidFunction implements ActivationFunction {
    @Override
    public double eval(double x) {
        return 1.0 / (1 + Math.exp(-x));
    }

    @Override
    public double derivative(double z) {
        return (1 - z) * z; // 这里
    }
}

3.1.2.4 计算梯度

这里是从前往后计算，最后累计在cumGrad。

int offset = 0;
for (int i = 0; i < layerModels.size(); i++) {
    DenseMatrix input = i == 0 ? data : outputs.get(i - 1);
    if (i == layerModels.size() - 1) {
    	layerModels.get(i).grad(null, input, cumGrad, offset);
    } else {
    	layerModels.get(i).grad(deltas.get(i), input, cumGrad, offset);
    }
    offset += layers.get(i).getWeightSize();
}

AffineLayerModel

因为导数有两部分: w , b, 所以这里有分为两部分计算。unpack 是为了解压缩，pack目的是最后L-BFGS是必须用向量来计算。

    public void grad(DenseMatrix delta, DenseMatrix input, DenseVector cumGrad, int offset) {
        unpack(cumGrad, offset, this.gradw, this.gradb);
        int batchSize = input.numRows();
        // 计算w
        BLAS.gemm(1.0, input, true, delta, false, 1.0, this.gradw);
        if (ones == null || ones.size() != batchSize) {
            ones = DenseVector.ones(batchSize);
        }
        // 计算b
        BLAS.gemv(1.0, delta, true, this.ones, 1.0, this.gradb);
        pack(cumGrad, offset, this.gradw, this.gradb);
    }

FuntionalLayerModel

这里就没有梯度计算‘

public void grad(DenseMatrix delta, DenseMatrix input, DenseVector cumGrad, int offset) {}

最后类变量如下：

this = {FeedForwardModel@10394} 

    layers = {ArrayList@10405}  size = 4
     0 = {AffineLayer@10539}
     1 = {FuntionalLayer@10377}
     2 = {AffineLayer@10540}
     3 = {SoftmaxLayerWithCrossEntropyLoss@10541} 

    layerModels = {ArrayList@10401}  size = 4
     0 = {AffineLayerModel@10543}
     1 = {FuntionalLayerModel@10376}
     2 = {AffineLayerModel@10544}
     3 = {SoftmaxLayerModelWithCrossEntropyLoss@10398} 

     outputs = {ArrayList@10399}  size = 4
      0 = {DenseMatrix@10374} "mat[19,5]:\n  0.5258035858891295,0.40832346939250874,0.4339942803542127,0.4146645474481978,0.45503123177429533..."
      1 = {DenseMatrix@10374} "mat[19,5]:\n  0.5258035858891295,0.40832346939250874,0.4339942803542127,0.4146645474481978,0.45503123177429533..."
      2 = {DenseMatrix@10533} "mat[19,3]:\n  0.31968260294191225,0.3305393733681367,0.3497780236899511..."
      3 = {DenseMatrix@10533} "mat[19,3]:\n  0.31968260294191225,0.3305393733681367,0.3497780236899511\...."

     deltas = {ArrayList@10400}  size = 3
      0 = {DenseMatrix@10375} "mat[19,5]:\n  0.0052001689807435756,-0.002841992490130668,0.02414893572802383."
      1 = {DenseMatrix@10379} "mat[19,5]:\n  0.02085622230356763,-0.011763437253154471,0.09830897540282763,-0.005205953747031061."
      2 = {DenseMatrix@10528} "mat[19,3]:\n  -0.6803173970580878,0.3305393733681367,0.3497780236899511\."

3.2 CalDirection 计算方向

这里的实现没有用到目标函数的拓扑模型。

3.3 CalcLosses 计算损失

会在 objFunc.calcSearchValues 中就直接进入到了 AnnObjFunc 类内部。

计算损失代码如下：

for (Tuple3<Double, Double, Vector> labelVector : labelVectors) {
    for (int i = 0; i < numStep + 1; ++i) {
		losses[i] += calcLoss(labelVector, stepVec[i]) * labelVector.f0;
    }
}

AnnObjFunc 的 calcLoss代码如下，可见是调用其拓扑模型来完成计算。

protected double calcLoss(Tuple3<Double, Double, Vector> labledVector, DenseVector coefVector) {
        if (topologyModel == null) {
            topologyModel = topology.getModel(coefVector);
        } else {
            topologyModel.resetModel(coefVector);
        }
        Tuple2<DenseMatrix, DenseMatrix> unstacked = stacker.unstack(labledVector);
        return topologyModel.computeGradient(unstacked.f0, unstacked.f1, null);
}

这里调用的是 computeGradient 来计算损失，会提前返回

@Override
public double computeGradient(DenseMatrix data, DenseMatrix target, DenseVector cumGrad) {
        outputs = forward(data, true);
        ......
        AnnLossFunction labelWithError = (AnnLossFunction) this.layerModels.get(L);
        double loss = labelWithError.loss(outputs.get(L), target, deltas.get(L - 1));
        if (cumGrad == null) {
            return loss; // 这里计算返回
        }
        ...
}

3.4 UpdateModel 更新模型

这里没有用到目标函数的拓扑模型。

0x04 输出模型

多层感知机比普通算法更耗费内存，我需要再IDEA中增加VM启动参数，才能运行成功。

-Xms256m -Xmx640m -XX:PermSize=128m -XX:MaxPermSize=512m

这里要小小吐槽一下Alink，在本地调试时候，没有办法修改Env的参数，比如心跳时间等。造成了调试的不方便。

输出模型算法如下：

        // output model
        DataSet<Row> modelRows = weights
            .flatMap(new RichFlatMapFunction<DenseVector, Row>() {
                @Override
                public void flatMap(DenseVector value, Collector<Row> out) throws Exception {
                    List<Tuple2<Long, Object>> bcLabels = getRuntimeContext().getBroadcastVariable("labels");
                    Object[] labels = new Object[bcLabels.size()];
                    bcLabels.forEach(t2 -> {
                        labels[t2.f0.intValue()] = t2.f1;
                    });

                    MlpcModelData model = new MlpcModelData(labelType);
                    model.labels = Arrays.asList(labels);
                    model.meta.set(ModelParamName.IS_VECTOR_INPUT, isVectorInput);
                    model.meta.set(MultilayerPerceptronTrainParams.LAYERS, layerSize);
                    model.meta.set(MultilayerPerceptronTrainParams.VECTOR_COL, vectorColName);
                    model.meta.set(MultilayerPerceptronTrainParams.FEATURE_COLS, featureColNames);
                    model.weights = value;
                    new MlpcModelDataConverter(labelType).save(model, out);
                }
            })
            .withBroadcastSet(labels, "labels");

// 当运行时候，参数如下：
value = {DenseVector@13212}
     data = {double[43]@13252}
      0 = -39.6567702949874
      1 = 16.74206842333768
      2 = 64.49084799006972
      3 = -1.6630682281137472
  ......

其中模型数据类定义如下

public class MlpcModelData {
    public Params meta = new Params();
    public DenseVector weights;
    public TypeInformation labelType;
    public List<Object> labels;
}

最终模型数据大致如下：

model = {Tuple3@13307} "
     f0 = {Params@13308} "Params {vectorCol=null, isVectorInput=false, layers=[4,5,3], featureCols=["sepal_length","sepal_width","petal_length","petal_width"]}"
      params = {HashMap@13326}  size = 4
       "vectorCol" -> null
       "isVectorInput" -> "false"
       "layers" -> "[4,5,3]"
       "featureCols" -> "["sepal_length","sepal_width","petal_length","petal_width"]"
     f1 = {ArrayList@13309}  size = 1
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      1 = "Iris-virginica"
      2 = "Iris-versicolor"

0xFF 参考

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Deep Learning 中文翻译

https://github.com/fengbingchun/NN_Test

深度学习入门——Affine层（仿射层-矩阵乘积）

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