Codeforces 100548F - Color (组合数+容斥)

题目链接：http://codeforces.com/gym/100548/attachments

有n个物品 m种颜色，要求你只用k种颜色，且相邻物品的颜色不能相同，问你有多少种方案。

从m种颜色选k种颜色有C(m, k)种方案，对于k种颜色方案为k*(k-1)^(n-1)种。但是C(m, k)*k*(k-1)^(n-1)方案包括了选k-1,k-2...,2种方案。

题目要求刚好k种颜色，所以这里想到用容斥。

但是要是直接C(m, k)*k*(k-1)^(n-1) - C(m, k-1)*(k-1)*(k-2)^(n-1)的话，其实是多减的。

比如k=4，4种颜色1 2 3 4，有种染色方案是1 2 1 2，那么k-1的话1 2 3或者1 2 4也有染色方案是1 2 1 2，这里发现多减了。所以k-2还得加上。

所以公式就变成了

C(m, k)*( k*(k-1)^(n-1) - C(k, k-1)*(k-1)*(k-2)^(n-1) + C(k, k-2)*(k-2)*(k-3)^(n-1) ... )

中间的组合数C(k, i)，可以用逆元来解决。C(m, k)则暴力即可。

 //#pragma comment(linker, "/STACK:102400000, 102400000")
 #include <algorithm>
 #include <iostream>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 #include <vector>
 #include <cmath>
 #include <ctime>
 #include <list>
 #include <set>
 #include <map>
 using namespace std;
 typedef __int64 LL;
 typedef pair <int, int> P;
 const int N = 1e6+ ;
 LL mod = 1e9 + ;
 LL f[N];
 
 LL Pow(LL a , LL n , LL mod) {
     LL res = ;
     while(n) {
         if(n & )
             res = res * a % mod;
         a = a * a % mod;
         n >>= ;
     }
     return res;
 }
 
 LL Cnm(LL n, LL m, LL mod) {
     if(n < N) { //数据范围小的 逆元就好了
         return f[n]*Pow(f[m]*f[n-m]%mod, mod - , mod) % mod;
     }
     LL res = Pow(f[m]%mod, mod - , mod)%mod;
     for(LL i = ; i < m; ++i) {
         res = res * (n-i) % mod;
     }
     return res%mod;
 }
 
 void init() { //阶乘预处理
     f[] = ;
     for(LL i = ; i < N; ++i)
         f[i] = f[i - ] * i % mod;
 }
 
 int main()
 {
     init();
     int t;
     LL n, m, k;
     scanf("%d", &t);
     for(int ca = ; ca <= t; ++ca) {
         scanf("%lld %lld %lld", &n, &m, &k);
         printf("Case #%d: ", ca);
         if(k ==  && n == ) {
             printf("%lld\n", m);
             continue;
         }
         else if(k == ) {
             printf("0\n");
             continue;
         }
         LL ans = , temp = k;
         for(int i = ; k >= ; --k, i = -i) {
             ans = (i * Cnm(temp, k, mod) % mod *k % mod* Pow(k- , n - , mod) % mod + ans) % mod;
         }
         ans = ans * Cnm(m, temp, mod) % mod;
         printf("%lld\n", (ans + mod) % mod);
     }
     return ;
 }

之前纠结了好久...