二模 （6） day1

第一题：

设 S(N)表示 N 的各位数字之和，如 S(484)=4+8+4=16，S(22)=2+2=4。如果一个正整数 x满足 S(x*x)=S(x)*S(x)，我们称 x 为 Rabbit Number。比方说，22 就是一个 Rabbit Number，因为 S(484)=S(22)*S(22)。
现在，给出一个区间[L,R]，求在该区间内的 Rabbit Number 的个数。  1≤L≤R≤10^9

解题过程：

1.首先爆搜把表给打了出来（[1,10^9] 跑了5分钟）。。然后发现所有的rabbit number 各个数位不会超过3。。 不会严谨的证明，但是想想应该是对的。。

设数X某一位是 5 ，5*5=25， 那么数字5对（S（X*X））贡献值是2+5=7远小于25。

2.那么枚举9位的4进制数即可。。还有一个10位数10^9也是rabbit number。 时间复杂度（4^9）轻松过。

3.题解上说一个数是rabbit number 当且仅当平方的时候没有出现进位，不知道为什么。。。不过枚举的方法已经够快了。

初始得分100.

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第二题：

题目大意：给出A,B， 两个人轮流，每次给A或者B 加上1，如果 A^B  大于给定的N就输了。。判断必胜者或者平局。1≤N≤10^8

解题过程：

1.首先容易看出这是个博弈问题，且状态集有限。

2.直接根据必胜态必败态来保存状态。F[i][j]表示当轮到某个人时，A=i，B=j，他是必胜还是必败。。 根据“一个状态是必败态当且仅当它的所有后继是必胜态”的原则转移状态。

3.细节处理：当B=1的时候，有可能两个人一直轮流给A+1，那么递归太多，系统栈就要爆掉了。所以加一个奇偶性剪枝，当B=1 && A*A>N的时候，肯定不会去+B,不然就输了。所以根据（N-A）的奇偶性就可以提前判断谁必胜了。。（不过极限数据还是会卡掉的，N=10^8,A=B=1）最多要递归10^4层。

4.最好其实还是用递推来写。不过记忆化也能AC。。没有极限数据。

初始得分0分。

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第三题：

题目描述：在一条数轴上有 N 个点，分别是 1～N。一开始所有的点都被染成黑色。接着我们进行 M 次操作，第 i 次操作将[Li,Ri]这些点染成白色。请输出每个操作执行后剩余黑色点的个数。

解题过程：

1.裸的线段树额。不过要打个lazy_tag。

2.其实可以不用打lazy_tag，因为没有删除操作，那么如果当前区间已经被完全覆盖过了，那么就可以直接return了。速度比lazy_tag版本的快一半。。（好吧其实是懒，连懒人标记都懒得写了。）