nyoj-----42一笔画问题

一笔画问题

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难度：4

 

描述

zyc从小就比较喜欢玩一些小游戏，其中就包括画一笔画，他想请你帮他写一个程序，判断一个图是否能够用一笔画下来。

规定，所有的边都只能画一次，不能重复画。

 

输入

第一行只有一个正整数N(N<=10)表示测试数据的组数。
每组测试数据的第一行有两个正整数P,Q(P<=1000,Q<=2000)，分别表示这个画中有多少个顶点和多少条连线。（点的编号从1到P）
随后的Q行，每行有两个正整数A,B(0<A,B<P)，表示编号为A和B的两点之间有连线。

输出

如果存在符合条件的连线，则输出"Yes",
如果不存在符合条件的连线，输出"No"。

样例输入

2
4 3
1 2
1 3
1 4
4 5
1 2
2 3
1 3
1 4
3 4

样例输出

No
Yes

来源

[张云聪]原创

做这道题之前，我们先引入一个列题........

　在18世纪的哥尼斯堡城里有七座桥。当时 有很多人想要一次走遍七座桥，并且每座桥只能经过一次。这就是世界上很有名的哥尼斯堡七桥问题。你能一次走遍这七座桥，而又不重复吗？(自己动手画画吧）

答案

　　16.一笔画问题

　　这个问题，实际上是一笔画问题。

　　一笔画就是一笔可以画成一个图。

　　判断一笔画的方法：

　　①是连通的。一个图，如果图上任意二点总有线段连接着，就称为连通的。不是连通的就不能一笔画出。

　　②奇点个数是0或者是2。图上线段的端点可以分成二类，奇点和偶数。一个点，以它为端点的线段数是奇数就称为奇点，线段数是偶数就称为偶点。

　　一个图是否是一笔画就看奇点的个数，奇点个数是 0 或者 2，就是一笔画，否则就不是一笔画。

　　哥尼斯桥问题，就是一笔画问题。但因A、B、C、D四个点都是奇点即奇点的个数是4，而不是0或2，所以不是一笔画，也就不能一次走遍，而又不重复。

针对这么个情况，所谓的连通图:

若无向图G是平凡图或者G中任意两点都是连通的，则称G是连通图，否则称G是非连通图。

关于弱连通图和强连通图:

弱连通图的概念是：如果略去D中各有向边的方向后所得无向图是连通图，则称D是弱连通图。

反之 若D中任何一对顶点都是互相可达的，则称D是强连通图。

所以这个问题完全可以转化策略为：

第一步： 首先我们不管它三七二十几，先进行连通性的判断。

第二步：

（1）如果是连通的，我们来判断此图的度的奇点的个数是0或者是2 ，如果是，则说明这个是欧拉图，即可以一笔画出，反之则不能一笔画出

（2）如果是非连通的，这说明这个图很定不能一笔画出。

代码为：

采用dfs算法求解：

 /*nyoj 42 coder Gxjun*/
 /*一笔画问题*/
 #include<stdio.h>
 #include<string.h>
 #include<stdlib.h>
 #define maxn 1005
 int edge[maxn];  //度
 bool vis[maxn],map[maxn][maxn];
 int pp , qq ;
 void dfs( int pos )
  {
       vis[pos]=true;
     for( int i=;i<=pp;i++)
       if(!vis[i]&&map[pos][i])
              dfs(i);
  }

 int main()
 {
    int test ,i,j;
    int x,y;
    bool flag;
    //freopen("test.in","r",stdin);
    scanf("%d",&test);
    while(test--){
        memset(edge,,sizeof(edge));
        memset(map,,sizeof(map));
        memset(vis,,sizeof(vis));
        scanf("%d%d",&pp,&qq);
        for(i=;i<qq;i++){
          scanf("%d%d",&x,&y);
           map[y][x]=map[x][y]=;
           edge[x]++;
           edge[y]++;
        }
          dfs();
          flag=true;
        for(i=;i<=pp ;i++){
          if(!vis[i]){
            flag=false;
             break;
            }
        }
        if(flag)
        {
          int ans=;
          for(i=;i<=pp;i++)
             if(edge[i]&)  ans++;
             if( ans==||ans== )
                  puts("Yes");
             else
                puts("No");
        }
         else
               puts("No");
    }
   return ;
 }

采用并查集求解

代码：

 /*并查集 @coder Gxjun*/
 /*一笔画问题*/
 #include<stdio.h>
 #include<string.h>
 #include<stdlib.h>
 #define  maxn 1001
 int rank[maxn],father[maxn];
 int edge[maxn];
 int pp,qq;
 void init(){
    for(int i=;i<=pp;i++){
      father[i]=i;
      rank[i]=;
    }
 }
 int set_find(int a){

     while(a!=father[a])
         a=father[a];
    return a;
 }
    //带状态压缩的并查集
  void  set_union(int x,int y){
      int a = set_find(x);
      int b = set_find(y);
      if(a!=b){
        if(rank[a]>rank[b]){
           father[b]=father[a];
           rank[a]+=rank[b];
        }
        else{
           father[a]=father[b];
           rank[b]+=rank[a];
        }
      }
  }

 int main()
 {
     int test,i,j,x,y;
     //freopen("test.in","r",stdin);
     scanf("%d",&test);
     while(test--){
        scanf("%d%d",&pp,&qq);
         memset(edge,,sizeof(edge));
        init();
       for(i=;i<qq;i++){
          scanf("%d%d",&x,&y);
          set_union(x,y);
            ++edge[x];
            ++edge[y];
        }
        for(i=;i<=pp;i++)
           if(rank[i]==pp) break;
        if(i<=pp)
        {
            int ans=;
          for(j=;j<=pp;j++)
            if(edge[j]&)ans++;
           if(ans==||ans==) puts("Yes");
              else puts("No");
        }
        else puts("No");
     }
     return ;
 }