数学分析新讲(1) NOTE

前言：无聊才翻翻看看来复习啦。。所以慢更(●'◡'●)

1.利用求和公式的性质推导：

\[\sum^{n}_{k=1}k=n
\]

\[\sum^{n}_{k=1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

\[\sum^{n}_{k=1}k^3={(\frac{n(n+1)}{2})}^2
\]

由数学归纳法,\(\sum^n_{k=1}k^p\)可以表示成\(n\)的\(p+1\)次多项式，其最高次项的系数为\(\frac{1}{p+1}\)，常数项为0.

2.AM-GM inequality

\[\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}
\]

3.涉及三角函数的不等式

\[sinx<x<tanx, \forall x\in(0,\frac{\pi}{2})
\]

\[|sinx|\leq|x|, \forall x\in\mathbb{R}
\]

4.Bernoulli inequality

\[(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+...+x^n
\]

therefore,

\[(1+x)^n\geq 1+nx
\]

5.有界序列和无穷小序列的性质。

(1)无穷小序列必为有界序列

(2)两个有界序列之积为有界序列【实数与无穷小序列之积也ok】

(3)两个无穷小序列之和为无穷小序列【推广到有限个也可以】

(4)无穷小序列与有界序列之积为无穷小序列

(5)两个无穷小序列之积还是无穷小序列【由(1)(4)可得】

(6){\(a_n\)}为无穷小序列\(\iff\) {\(|a_n|\)}为无穷小序列