《Interest Rate Risk Modeling》阅读笔记——第八章：基于 LIBOR 模型用互换和利率期权进行对冲

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• 第八章：基于 LIBOR 模型用互换和利率期权进行对冲
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  • 推导浮息债在重置日（reset date）的价格

第八章：基于 LIBOR 模型用互换和利率期权进行对冲

思维导图

推导浮息债在重置日（reset date）的价格

记首个重置日 \(T_0=0\) 观察到的即期期限结构是 \(Y(t)\)，对应零息债券的价格是，

\[
P(T_0,T_i) = e^{-Y(T_i)T_i}，i=1,\dots,n
\]

根据 LIBOR 远期利率的定义，

\[
\begin{aligned}
1 + \tau L(T_0,T_i,T_{i+1}) &= \frac{P(T_0,T_{i})}{P(T_0,T_{i+1})}\\
\tau L(T_0,T_i,T_{i+1}) &= \frac{P(T_0,T_{i}) - P(T_0,T_{i+1})}{P(T_0,T_{i+1})}
\end{aligned}
\]

面额是 \(F\) 的浮息债在 \(T_0\) 的预期现金流如下：

\[
\begin{aligned}
T_1&: CF_1 = F \times \tau \times L(T_0, T_0, T_1)\\
T_2&: CF_2 = F \times \tau \times L(T_0, T_1, T_2)\\
\vdots \\
T_n&: CF_n = F \times \tau \times L(T_0, T_{n-1}, T_n) + F\\
\end{aligned}
\]

这些现金流的贴现值是：

\[
\begin{aligned}
P &= \sum_{i=1}^n CF_i \times P(T_0,T_i)\\
&=\sum_{i=1}^n F \times \tau \times L(T_0, T_{i-1}, T_i) \times P(T_0,T_i) + F\times P(T_0,T_n)\\
&=\sum_{i=1}^n F \times \frac{P(T_0,T_{i-1}) - P(T_0,T_{i})}{P(T_0,T_{i})} \times P(T_0,T_i) + F\times P(T_0,T_n)\\
&=F\times P(T_0,T_0)\\
&=F
\end{aligned}
\]