化 Bernoulli 方程为一阶线性微分方程

形如

$ {\displaystyle \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n(n\neq 0,1) \ \ \ \ \ (1)}$

的方程为 Bernoulli 方程.现在我们考虑其解法.当 $ y\neq 0$ 时,(1) 的两边同时乘以 $ y^{-n}$,得到

$ {\displaystyle y^{-n}\frac{dy}{dx}+y^{-n+1}p(x)=q(x). \ \ \ \ \ (2)}$

令 $ z=y^{-n+1}$,可得

$ {\displaystyle \frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}. }$

因此,(2) 化为

$ {\displaystyle \frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}+zp(x)=q(x). \ \ \ \ \ (3)}$

这就化为了关于 $ x$ 和 $ z$ 的一阶线性方程.