D - Pearls HDU - 1300 斜率dp+二分

D - Pearls

HDU - 1300

这个题目也是一个比较裸的斜率dp，依照之前可以推一下这个公式，这个很好推

这个注意题目已经按照价格升序排列序，所以还是前缀和还是单调的。

sum[i] 表示前面 i 种珍珠的花费的前缀和

dp[i]表示买前面 i 种珍珠需要的最少的花费

dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]-sum[j]+10)*c[i]

j>k 如果要求选 j  更优，则需要满足下列式子

dp[j]+(sum[i]-sum[j]+10)*c[i]<dp[k]+(sum[i]-sum[j]+10)*c[i]

上面式子化简可得

dp[j]-dp[k]<c[i]*(sum[j]-sum[k])

令G[j,k]=(dp[j]-dp[k])/(sum[j]-sum[k])

如果G[j,k]<c[i]且j>k 则选 j 比选 k 更优

推出这个斜率的式子之后，然后要用它。

关键的来了：现在从左到右，还是设k<j<i，如果g[i,j]<g[j,k]，那么j点便永远不可能成为最优解，可以直接将它踢出我们的最优解集。为什么呢？

分三种情况讨论

1  G[i,j]<G[j,k]<c[t] 那么 i 是比 j 更优的 所以可以排除 j 点

2 G[i,j]<c[t]<G[j,k]  那么 i 也是比 j 更优的,而且 k 比 j 也优 可以排除 j 点

3 c[t]<G[i,j]<G[j,k] 那么 k 是比 j 更优 可以排除 j 点

所以如果是G[i,j]<G[j,k] 且 i>j>k 那么就可以排除掉 j 这个情况，因为 j 两边永远可以找到一个比它更优的，这个也是一种优化

那如果 G[i,j]>G[j,k]     i>j>k 这种情况呢？

1 G[i,j]>G[j,k] >c[t] 那么 j  比 i 更优 k 比 j 更优

2 G[i,j]>c[t]>G[j,k] 那么 j 比 i 更优 j 也比 k 更优

3 c[t]>G[i,j]>G[j,k] 那么 i 比 j 更优 j 比 k 更优

这个就可以找到单调性了，

如果 i 从小往大 G[i,j] 越来越大，那么在 小于等于 c[t] 的范围内，情况也更优，

意思是 如果 i>j>k 如果可以在 j 点取得最优解，那么k点肯定可以排除，

所以就是找小于 c[t] 的最大的这个 j 。

如果是G[i,j]<Gj,k]&&i>j>k 这种情况可以找到一个 j 比两端都优的

因为这个题目c是单调递增的，所以可以用单调队列来维护。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
#include <string>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define inf64 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn = 1e3 + ;
typedef long long ll;
ll dp[maxn], sum[maxn], c[maxn];
int que[maxn];
 
ll up(int i,int j)
{
    return dp[i] - dp[j];
}
 
ll down(int i,int j)
{
    return sum[i] - sum[j];
}
 
ll DP(int i,int j)
{
    return dp[j] + (sum[i] - sum[j] + )*c[i];
}
 
int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        sum[] = dp[] = ;
        for (int i = ; i <= n; i++) scanf("%lld%lld", &sum[i], &c[i]), sum[i] += sum[i - ];
        int head = , tail = ;
        que[tail++] = ;
        for(int i=;i<=n;i++)
        {
            while (head +  < tail&&up(que[head + ], que[head]) <= c[i] * down(que[head + ], que[head])) head++;//如果满足这个式子
            //就是说明que[head+1]比 que[head]更优，所以可以删去这个que[head] 然后之后不满足这个式子了，说明que[head]比que[head+1]更优
            //说明这个时候的队首就是最优的，就可以跳出循环
            dp[i] = DP(i, que[head]);
            while (head +  < tail&&up(i, que[tail - ])*down(que[tail - ], que[tail - ]) <= up(que[tail - ], que[tail - ])*down(i, que[tail - ])) tail--;
            que[tail++] = i;
        }
        printf("%lld\n", dp[n]);
    }
    return ;
}