CF1216E Numerical Sequence

问题分析

奇奇怪怪的题。。。

首先思路达成一致，从大到小一步一步确定位置。

我们一边分析，一边讲算法。

112123123412345123456123456712345678123456789123456789101234567891011123456789101112

假设我们现在要找的是这个串中的倒数第二个位置（就是1），我们可以这样做：

首先，我们想象着把串分开，变成

1

12

123

1234

12345

123456

1234567

12345678

123456789

12345678910

1234567891011

123456789101112

由于我们发现，最后一个数字位数相同的串的长度是一个等差数列，可以方便地求得数列和。所以我们可以枚举所求位置所在串的最后一个数字的位数。

在这个例子中，我们先枚举最后一个数字的位数为$1$，可以算得这样的串的总长是 $（1+9）*9/2$。发现不到所求位置，于是把这些串扔掉，顺便所求位置减$45$。

12345678910

1234567891011

123456789101112

然后枚举最后一个数字的位数为$2$，可以算得这样串的总长是 $(11+(9+2*90))*90/2$大于所求位置。

所以我们知道了所求位置所在串的最后一个数的位数是 $2$。

然后同样的，根据这个等差数列，我们可以二分求得所求位置所在串的最后一个数是多少。

这个例子中，最后锁定在串

123456789101112

然后……

我们可以重复上面的操作，把串分成

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

然后重复上面的第一步操作确定所求位置所在数的位数。只不过这次长度数列不再是等差数列，而是值等于数字位数的常数列。

在这个例子中，我们删掉了长度为$1$的，留下

10 11 12

然后可以直接算出所求位置在 12 里。然后问题就解决了！

参考程序

#include <bits/stdc++.h>

#define LL long long

using namespace std;

void Work() {

	LL n;

	scanf( "%lld", &n );

	LL LastLen = 0, Len, Count;

	for( Len = 1; ; ++Len ) {

		Count = 9;

		for( LL i = 1; i < Len; ++i )

			Count = Count * 10;

		LL Sum = ( LastLen + Len + LastLen + Count * Len ) * Count / 2;

		if( n <= Sum ) break;

		n -= Sum;

		LastLen += Count * Len;

	}

	LL Left = 1, Right = Count, Mid, Ans;

	while( Left <= Right ) {

		Mid = ( Left + Right ) >> 1;

		LL Sum = ( LastLen + Len + LastLen + Mid * Len ) * Mid / 2;

		if( Sum >= n ) {

			Ans = Mid;

			Right = Mid - 1;

		} else Left = Mid + 1;

	}

	--Ans;

	n -= ( LastLen + Len + LastLen + Ans * Len ) * Ans / 2;

	++Ans;

	for( Len = 1; ; ++Len ) {

		Count = 9;

		for( LL i = 1; i < Len; ++i )

			Count = Count * 10;

		LL Sum = Count * Len;

		if( Sum >= n ) break;

		n -= Sum;

	}

	LL Num = ( n + Len - 1 ) / Len;

	n = n - ( Num - 1 ) * Len;

	LL T = 1;

	for( LL i = 1; i < Len; ++i ) T = T * 10;

	Num = T + Num - 1;

	T = Len - n + 1;

	for( LL i = 1; i < T; ++i ) Num = Num / 10;

	printf( "%lld\n", Num % 10 );

	return;

}

int main() {

	LL Query;

	scanf( "%lld", &Query );

	for( LL i = 1; i <= Query; ++i ) Work();

	return 0;

}