【概率论】4-1:随机变量的期望(The Expectation of a Random Variable Part I)

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title: 【概率论】4-1:随机变量的期望(The Expectation of a Random Variable Part I)

categories:

- Mathematic

- Probability

keywords:

• Expectation
  
  toc: true
  
  date: 2018-03-20 09:48:55

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Abstract: 本文主要介绍期望的基础之知识，第一部分介绍连续和离散随机变量的期望。

Keywords: Expectation

开篇废话

好像大家比较喜欢关于学习方面的废话，那么以后就不说社会现象了，哈哈哈。

期望是整个这一章的基础，概率论学习例子最重要，前面几节例子都写的不多，所以让大家多看书，博客只能算个总结性的东西，而期望这个概念更是需要用练习去理解，我做数学的目的是为了研究机器学习，不是为了做习题，但是做习题是最快速的学数学的方法。

为了使得基础扎实，所以把本来可以一篇完成的博客拆分成了两篇，第一篇写离散和连续随机变量的期望，下一篇写随机变量函数的期望。

本章引言

一个随机变量的全部信息被保存在他的分布中，当事件到随机变量的确定后，随机变量的分布唯一描述这个随机变量的全部性质。

但是整个分布包含太多信息了，比如一个复杂的分布，参数可能有几百上千个，有些性质就变得不那么明显了。

举个通俗的例子，我们描述一个人的身材（把身材当做随机变量），最完整的方法就像做CT，把整个人的三维模型数据采集出来，这就相当于其分布函数，但是这个数据量也好，耗时也好，都是非常大的，而且有些数据也没啥大作用，我们可能只关心这个人的射高体重，就能大概猜测出来这个人的大概样子，而不关心他的脑袋有多大，眼睛有多大。

这个例子是个很通俗的解释，但是类比的很恰当（为自己鼓掌）。

我们的目的就像找到身材中的身高和体重一样，找到分布中的某几个关键数值，这些数值可以反映出分布的某些重要性质——期望！

Expectation for a Discrete Distribution

先举个不切实际的例子，买股票，通过某种计算，我们知道了某只股票的赚钱的分布，只有两种请款个，一种是赚10块钱，概率是90%，一种是赔100块钱，概率是10%。那么我们要不要买这只股票。

分析，首先事件是两个，一个是赚10元，一个是赔100，那么我们把这两个事件映射成随机变量 10，-100，那么离散分布：Pr(10)=0.9,Pr(−100)=0.1Pr(10)=0.9,Pr(-100)=0.1Pr(10)=0.9,Pr(−100)=0.1 我们可能赚多少钱，相当于随机变量的加权平均，也就是 E=10×0.9+(−100)×0.1=−1E=10\times 0.9+(-100)\times 0.1 =-1E=10×0.9+(−100)×0.1=−1 我们买这只股票的赚钱期望值是-1 ，这个-1其实是没有意义的，因为我们从事件到随机变量的映射其实只做了两个事件的一对一映射，我们得到的 -1 这个随机变量根本不知道对应什么事件，但是我们可以把第一步的从事件到随机变量的映射改成一个线性的函数，也就是收益 aaa (可正可负)对应是随机变量是 X=aX=aX=a 那么这样就存在逆映射，随机变量-1对应赔了一块钱。

Definition Mean of Bounded Discrete Random Variable. Let XXX be a bounded discrete random variable whose p.f. is fff .the expectation of XXX denoted by E(X)E(X)E(X) ,is a number define as follow:

E(X)=∑All xxf(x)
E(X)=\sum_{\text{All }x}xf(x)
E(X)=All x∑​xf(x)

The expectation of XXX is also referred to as the mean of XXX or the expected value of XXX

上面定义了一个有限的离散分布的期望，每个分布对应唯一的期望，有限的离散分布都有期望，但是后面要说的连续的分布可能没有期望。

一个例子，但是很重要，重要到可以当做一个定理：

一个随机变量X有一个参数为p的伯努利分布，那么他的期望是什么？

E(X)=p×1+(1−p)×0=p
E(X)=p\times 1+(1-p)\times 0=p
E(X)=p×1+(1−p)×0=p

简单的例子，但是是后面很多求解的基础组成，这个值得我们关注一下。

上面我们讲的都是有限个离散分布的情况，当X是无限的时候其实也可以求期望，也就是求所有可能的值的加权平均数

Definition Mean of General Discrete Random Variable. Let X be a discrete random variable whose p.f. is f.Suppose that at least one of the following sums is finite:

∑Positive xxf(x),∑Negative xxf(x)
\sum_{\text{Positive }x}xf(x) , \sum_{\text{Negative }x}xf(x)
Positive x∑​xf(x),Negative x∑​xf(x)

Then the mean,expectation,or expected value of XXX is said to exist and is defined to be

E(x)=∑All xxf(x)
E(x)=\sum_{\text{All } x}xf(x)
E(x)=All x∑​xf(x)

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