原题链接  https://www.luogu.org/problem/P5022

本着快csp了,做点往年的NOIp的题试试水来着,没想到水这么深 难度还挺大的,耗了我一天的时间(可能是我太菜了)

题目大意:

给你 n 个点和 m 条边,问如何遍历每个结点才能使最后的字典序最小,注意只有遍历完一棵字树的所有结点后才能回溯到他的父亲结点;

前 60 pts:

作为 NOIp2018 day2T1 来说,部分分确实给的挺足的,这 60 pts 就是哦;

看到 m = n-1 说明这是一棵树,考虑用搜索:

既然要保证是字典序最小,那么我们第一个点一定要选 1 了,考虑接下来只需要从他的儿子里按照编号从小到大遍历就好了,注意要遍历完一棵子树才能回溯上去;

后 40 pts:

m = n ?嗯,基环树!

所谓基环树,就是说在一个图里,有 n 个结点和 n 条边,那么这个图内有且仅有一个环;

我们仍然可以按照前 60 pts 的做法上去想:

按理来说我们遍历完 n 个结点只需要走 n-1 条边就好了啊,所以一定有一条边是多余的,也就是说我们根本遍历不到它,那么我们可以枚举每一条边,暂时把它删掉,然后和刚才的做法一样跑一遍 dfs,这样能求得一个字典序,我们取所有字典序中最小的一个就是答案了;

优化

显然如果我们像上述做法那样暴力的话,是会有几个点 TLE 的(毕竟NOIp也不会水到这种程度吧qwq),所以我们要考虑优化;

优化一:

题目中说了,我们的目的是遍历完每个点,那么假设我们删掉的边不是环上的边,那么这个图一定会变得不连通,那么就无法完成任务了;

所以我们只要找出基环树上的环,只需删掉环上的边就好了,至于找环嘛,这里我用的 tarjan(其实是只会这个qwq)

优化二:

最优性剪枝:假如我们在 dfs 的过程中,发现求得的字典序不如之前的答案优,那么我们直接可以 return 了;

有了这两个小优化,终于可以愉快的 AC 本题了,时间复杂度 O(n2);

至于更神仙的 O(n log n)甚至 O(n)的做法,咕咕咕~

  1. #include<iostream>
  2. #include<cstdio>
  3. #include<cstring>
  4. #include<algorithm>
  5. #include<cmath>
  6. using namespace std;
  7. int read()
  8. {
  9. char ch=getchar();
  10. int a=,x=;
  11. while(ch<''||ch>'')
  12. {
  13. if(ch=='-') x=-x;
  14. ch=getchar();
  15. }
  16. while(ch>=''&&ch<='')
  17. {
  18. a=(a<<)+(a<<)+(ch-'');
  19. ch=getchar();
  20. }
  21. return a*x;
  22. }
  23. const int N=;
  24. int n,m,bi,bj,tot,top,tim,start,edge_sum,scc_sum,ans_sum=;
  25. int u[N],v[N],dfn[N],low[N],scc[N],st[N],vis[N],size[N],head[N],ans[N],f[N][N];
  26. struct node
  27. {
  28. int to,next;
  29. }a[N<<];
  30. void add(int from,int to) //链表存图
  31. {
  32. edge_sum++;
  33. a[edge_sum].to=to;
  34. a[edge_sum].next=head[from];
  35. head[from]=edge_sum;
  36. }
  37. void tarjan(int u,int fa) //tarjan找环
  38. {
  39. dfn[u]=low[u]=++tim;
  40. st[++top]=u;
  41. vis[u]=;
  42. for(int i=head[u];i;i=a[i].next)
  43. {
  44. int v=a[i].to;
  45. if(v==fa) continue;
  46. if(!dfn[v])
  47. {
  48. tarjan(v,u);
  49. low[u]=min(low[u],low[v]);
  50. }
  51. else if(vis[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
  52. }
  53. if(dfn[u]==low[u])
  54. {
  55. scc_sum++;
  56. if(u==) start=scc_sum;
  57. while(st[top]!=u)
  58. {
  59. vis[st[top]]=;
  60. scc[st[top]]=scc_sum;
  61. top--;
  62. }
  63. vis[st[top]]=;
  64. scc[st[top]]=scc_sum;
  65. top--;
  66. }
  67. }
  68. void dfs(int u,int fa)
  69. {
  70. tot++;
  71. if(u<ans[tot]||bj) //如果比答案更优,或者之前就已经比答案优的话,就更新答案
  72. {
  73. bj=; //发现更优解了
  74. ans[tot]=u;
  75. }
  76. else if(u>ans[tot]) //最优性剪枝:不如答案优就直接返回
  77. {
  78. bi=; //没有找到更优解
  79. return ;
  80. }
  81. vis[u]=;
  82. for(int i=;i<=n;i++) //从小到大去枚举每个点
  83. {
  84. if(i!=fa&&f[u][i]&&!vis[i]) //判断是否连接
  85. {
  86. dfs(i,u);
  87. if(bi) return ; //剪枝
  88. }
  89. }
  90. }
  91. int main()
  92. {
  93. n=read();m=read();
  94. for(int i=;i<=m;i++)
  95. {
  96. u[i]=read();v[i]=read();
  97. add(u[i],v[i]);add(v[i],u[i]); //链表存图,tarjan的时候方便
  98. f[u[i]][v[i]]=;f[v[i]][u[i]]=; //邻接矩阵存图,选择贪心决策的时候方便从小到大找儿子
  99. }
  100. for(int i=;i<=n;i++) //tarjan找环
  101. {
  102. if(!dfn[i]) tarjan(i,);
  103. }
  104. memset(ans,0x3f,sizeof(ans));
  105. if(m==n-) //前60pts
  106. {
  107. dfs(,);
  108. for(int i=;i<=n;i++) printf("%d ",ans[i]);
  109. return ;
  110. }
  111. else //后40pts:基环树
  112. {
  113. for(int i=;i<=m;i++)
  114. {
  115. if(scc[u[i]]==scc[v[i]]) //只需删除同一联通块里的边
  116. {
  117. tot=;bi=;bj=; //bi表示是否一定不会找到更优解,bj表示是否找到了更优解
  118. memset(vis,,sizeof(vis));
  119. f[u[i]][v[i]]=; //暂时删边,这里用邻接矩阵就比较方便了
  120. f[v[i]][u[i]]=;
  121. dfs(,); //更新答案
  122. f[u[i]][v[i]]=; //记得恢复
  123. f[v[i]][u[i]]=;
  124. }
  125. }
  126. }
  127. for(int i=;i<=n;i++) printf("%d ",ans[i]);
  128. return ;
  129. }

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