LCA问题的ST,tarjan离线算法解法
一 ST算法与LCA
- 介绍
第一次算法笔记这样的东西,以前学算法只是笔上画画写写,理解了下,刷几道题,其实都没深入理解,以后遇到新的算法要把自己的理解想法写下来,方便日后回顾嘛>=<
RMQ问题就是询问一个给定数组相应区间i…j的最大值。
ST算法的思路是:f(i,j)表示i开始的2^j个数中最大值/最小值,通过运用dp的思想初始化f(i,j)求出每个i(1….n)出发长度为2^j(0<=j<=log(n)/log(2))最大值。
由于初始化过程复杂度只有O(nlog(n)),查询过程O(1),所以会比线段树快很多,而且更不容易出错。
以下为初始化代码:
Init:
for(int i = 1; i <= n; i++)
f(i, 0) = a[i];
for(int i = 1; i <= (int)log(n)/log(2); i++)
for(int j = 1; j + (1<<i) – 1 <= n; j++)
f(i, j) = max(f (i , j-1), f(i+(1<<(j-1) ), j - 1);
查询区间[a, b],先找到一个最大的值k = (int)log(b-a+1)/log(2);
然后分别查询左右两个端点出发的长度为2^k的区间最大值。
RMQ(a, b)
int k = (int)log(b-a+1)/log(2.0);
return max(f(a, k), f(b – (1<<k) + 1, k));
- 解决LCA问题
在dfs遍历过程中,每次进入或回溯到结点u时,将深度存入熟读dep[cnt],cnt表示在数组中的编号,同时用E[cnt]记录相应的结点即:E[cnt] = u, 并且用R数组记录初次访问u的时候,存进D数组的位置,即R[u] = cnt.
这样每次查询LCA(u,v) = E[RMQ(dep, R[u], R[v])], (R[u] < R[v]),RMQ返回到的是下标R[u]~R[v]的区间中深度最小的点在数组中的位置,也就是下标,这样通过E数组可获得该结点编号。
dfs(u, d)
R[u] = ++cnt
dep[cnt] = d
E[cnt] = u
vis[u] = true
for each (u, v) in TREE
if !vis[v]
dfs(v, d+1)
dep[++cnt] = d
E[cnt] = u
最后cnt 的大小为2*n-1,也就是每条边访问了2次。
最近遇到的一个问题是,HDU – 3686 Traffic Real Time Query System 对双连通分量缩点,使得割点和各个连通分量构成一个树形图,求这个树形图中任意两点之间路径最少需要经过多少个割点,稍有变化
只是在遇到割点时距离才增加,而且当LCA(u, v)是割点的时候需要把结果ans++。
题解: HDU Traffic Real Time Query System
二 tarjan离线算法解决LCA
主要是事先读入所有的查询,然后在dfs到u的过程中,看所有需要查询的(u,v)中另一点v是否已经访问过,如果是的话此时findset(v)便是u,v的LCA。
通过ans = dis[u] + dis[v] – 2 * dis[findset(v)]便可知道u,v间的最短距离。
常见的LCA问题就是求树形图中2个点的最短距离,3个点连接起来的最短距离,都是通过两两求出最短距离然后除以2(对于3个点的情况),是不是n个点的时候除以(n-1)?猜了一下,求高手证实、==
3个点:题解 ZOJ - 3195 Design the city。2个点的类似: HDU – 2586 How far away ?
tarjan离线解决HDU Traffic Real Time Query System 题解.
更详细的解释 博客 在这里了,遇到一个LCA的题目,就学习了一下,我只是做了一个新手搬运工hahaha~
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