BZOJ_1778_[Usaco2010_Hol]_Dotp_驱逐猪猡_(期望动态规划+高斯消元+矩阵)

描述

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http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1778

炸弹从1出发,有\(\frac{P}{Q}\)的概率爆炸,如果不爆炸,等概率移动到连通的点.求在每个点爆炸的概率.

分析

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我们构造一个\(n\)行\(n\)列的矩阵\(f\),其中\(f[i][j]\)表示从\(i\)移动到\(j\)的概率.

那么\(f^2\)中\(f^2[i][j]\)是\(f[i][k]\times{f[k][j]}\)得来的,也就是\(i\to{k}\to{j}\)的概率,也就是移动两次到达的概率.

这样的话\(f^n[i][j]\)表示的就是\(i\)移动n次到达\(j\)的概率.

我们构造一个行向量\(S={1,0,0,...,0}\).

然后\(S\times{f^i}\)的结果就是\(f^i\)的第一行,也就是从\(1\)出发,移动\(i\)次到达每一个点的概率.

那么从\(1\)出发,移动\(i\)次到达某一点然后爆炸的概率就是\(S\times{f^i}\times{P\over Q}\).

那么答案行向量

$$ans=\sum_{i=0}^{\infty}S\times{f^i}\times{P\over Q}$$

然后根据等比数列求和公式,得到:

$$ans\times(I-f)=\frac{P}{Q}\times{S}$$

其中\(I\)为单位矩阵,大小为\(n\times{n}\),对角线上都是\(1\),其他位置都是\(0\).

其中只有\(ans\)是未知的,这就是一个线性方程组.

不过问题在于第\(i\)个方程的系数是\(f\)的第\(i\)列而不是行.所以我们把\(f\)的行列倒置一下,或者写一个别扭的高斯消元也可以,不是大问题.

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 
 const int maxn=+;
 int n,m,p,q;
 int d[maxn];
 double rate;
 double f[maxn][maxn];
 void gause(){
     for(int i=;i<=n;i++){
         int t=i;
         for(int j=i+;j<=n;j++)if(fabs(f[j][i])>fabs(f[t][i])) t=j;
         if(i!=t)for(int j=i;j<=n+;j++) swap(f[t][j],f[i][j]);
         for(int j=i+;j<=n;j++){
             double x=f[j][i]/f[i][i];
             for(int k=i;k<=n+;k++) f[j][k]-=f[i][k]*x;
         }
     }
     for(int i=n;i;i--){
         for(int j=i+;j<=n;j++) f[i][n+]-=f[i][j]*f[j][n+];
         f[i][n+]/=f[i][i];
     }
 }
 int main(){
     scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&p,&q);
     if(p>q) p=q;
     rate=(double)p/q;
     for(int i=;i<=m;i++){
         int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
         d[x]++; d[y]++;
         f[x][y]+=1.0; f[y][x]+=1.0;
     }
     for(int i=;i<=n;i++){
         for(int j=;j<=n;j++){
             if(d[j]) f[i][j]/=d[j];
             f[i][j]*=rate-;
         }
         f[i][i]+=1.0;
     }
     f[][n+]=rate;
     gause();
     for(int i=;i<=n;i++) printf("%.9lf\n",f[i][n+]);
     return ;
 }

1778: [Usaco2010 Hol]Dotp 驱逐猪猡

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[Submit][Status][Discuss]

Description

奶
牛们建立了一个随机化的臭气炸弹来驱逐猪猡。猪猡的文明包含1到N (2 <= N <= 300)一共N个猪城。这些城市由M (1
<= M <= 44,850)条由两个不同端点A_j和B_j (1 <= A_j<= N; 1 <= B_j
<= N)表示的双向道路连接。保证城市1至少连接一个其它的城市。一开始臭气弹会被放在城市1。每个小时（包括第一个小时），它有P/Q (1
<= P <=1,000,000; 1 <= Q <=
1,000,000)的概率污染它所在的城市。如果这个小时内它没有污染它所在的城市，那麽它随机地选择一条道路，在这个小时内沿着这条道路走到一个新的
城市。可以离开这个城市的所有道路被选择的概率均等。因为这个臭气弹的随机的性质，奶牛们很困惑哪个城市最有可能被污染。给定一个猪猡文明的地图和臭气弹
在每个小时内爆炸的概率。计算每个城市最终被污染的概率。如下例，假设这个猪猡文明有两个连接在一起的城市。臭气炸弹从城市1出发，每到一个城市，它都有
1/2的概率爆炸。
1--2
可知下面这些路径是炸弹可能经过的路径（最后一个城市是臭气弹爆炸的城市）：
1: 1
2: 1-2
3: 1-2-1
4: 1-2-1-2
5: 1-2-1-2-1
...
要得到炸弹在城市1终止的概率，我们可以把上面的第1，第3，第5……条路径的概率加起来，（也就是上表奇数编号的路径）。上表中第k条路径的概率正好是
(1/2)^k，也就是必须在前k-1个回合离开所在城市（每次的概率为1 - 1/2 =
1/2）并且留在最后一个城市（概率为1/2）。所以在城市1结束的概率可以表示为1/2 + (1/2)^3 + (1/2)^5 +
...。当我们无限地计算把这些项一个个加起来，我们最后会恰好得到2/3，也就是我们要求的概率，大约是0.666666667。这意味着最终停留在城
市2的概率为1/3，大约为0.333333333。

Input

* 第1行: 四个由空格隔开的整数: N, M, P, 和 Q
* 第2到第M+1行: 第i+1行用两个由空格隔开的整数A_j和B_j表示一条道路。

Output

* 第1到第N行: 在第i行，用一个浮点数输出城市i被摧毁的概率。误差不超过10^-6的答桉会
被接受（注意这就是说你需要至少输出6位有效数字使得答桉有效）。

Sample Input

2 1 1 2
1 2

Sample Output

0.666666667
0.333333333

HINT

Source

Gold