NIM游戏

先看一下一维 NIM游戏。

有一堆大小为 \(n\) 的石子,甲和乙轮流从石堆里面拿石子,不能一次拿掉所有石子,取走最后一个石子的人获胜,甲先开始,谁是必胜的?

显然,谁先手,谁就获胜。那么推广到二维呢?

有两堆大小为 \(n\) \(m\) 的石子,甲和乙轮流从两个石堆里拿石子,每次从一个石堆里拿石子,不能一次拿掉一堆中所有石子,取走最后一个石子的获胜,甲先开始拿,谁是必胜的?

当 \(n=m\) 的时候,先手必输。因为先手从一堆中拿 \(Y\) 颗,后手也可以从另外一个堆中拿 \(Y\) 颗。循环下去,后手必胜。

而如果 \(n != m\),先手就可以制造两堆相等的石子,使得后手必败。

引入点新概念。当两堆相等时,先手必败,我们将这种状态叫做必败态。记为 \(P\)。

当两堆不相等时,先手必胜,将这种状态叫做必胜态,记为 \(N\)。

那么,推广到多维,如何确定谁是必胜的呢?

由前两种NIM游戏可以知道,如果所有石堆大小都相等,那么先手是不能直接取得胜利的。这种状态称为平衡态。反之,可以进行一次操作就取得胜利的状态就是非平衡态。平衡态也就是必胜态,非平衡态也就是必败态。

考虑将所有石堆的大小异或起来,如果结果为 \(0\),那么这就是一个平衡态。如果结果不为零,那就是非平衡态。

我们每拿一次石子,都可以将异或时某一位上的值由这位上的 \(1\) 的奇偶性决定。因此我们拿石子时可以控制每一位上 \(1\) 的奇偶性,也就因此能控制异或出的总结果了。同样的,对手每操作一次,由于必须拿至少一颗石头,就势必将会影响某一位上 \(1\) 的数量,状态必然会改变。这就意味着我们在操作的时候,可以实现平衡态和非平衡态之间的转化

如果一开始我们接手的是一个不平衡态,要取胜,就可以反复给对手构造一个平衡态,这是必胜的。

如果一开始接手的是一个平衡态,只要对手足够聪明,就可以让我们每次都拿到一个平衡态。这就是必败的。

SG函数

由刚才的论述可知,必胜态和必败态之间是可以相互转化的。必败态经过一次操作必然会转化为必胜态,必胜态经过一次操作可能是必胜态,也可能是必败态(想想异或的过程)。当一个状态已经转化为能够分出胜负的必败态时,称这个状态是0级必胜点,记作 \(SG(x)=0\)(\(x\) 描述了当前的状态)。

如果某个状态最少操作一次就能变为0级必胜点,那么这个状态就是1级必胜点,以此类推,有2级,3级……必胜点。而SG函数就是用来描述每个状态到达终末态时所需要的最少的步骤,即描述每个状态是几级必胜点。定义为:

\[SG(x) = MEX\{SG(y)|x->y\}
\]

SG定理

  • 两个同级必胜点(SG函数值相等)组成的游戏是必败的。因为先手如果降低其中一个必胜点的等级,后手可以降低另一个必胜点的相同数量的等级,使先手一直面对两个同级必胜点,最后面对两个1级必胜点,只能将其中一个必胜点变成必败点,这样先手必败。

  • 两个不同级必胜点(SG函数值不同)组合成的的游戏是必胜的,因为先手可以将等级高的必胜点的等级降低到与另一个必胜点相同,这样后手面对的就是由两个同级必胜点构成局面,先手必胜。

对于一个游戏,可以将组成它的每一个游戏的SG函数值异或起来,为 \(0\),则对于先手来说必败,反之对于先手就是必胜的。这就是 SG定理了!

例题:

Fibonacci again and again

三堆大小分别为 \(n\),\(m\),\(p\) 的石子,每堆大小均不超过 \(1000\),两个人拿,令 \(x\) 为菲波那契数列中的一项,每个人每次只能从一堆里拿 \(x\) 个石子,问谁是必胜的。

板题,主要想说说怎么记忆化搜索求SG函数值。

int sg[MAXN + 5],f[MAXN + 5];//f为菲波那契数列
int getsg(int num){
if(num == 0)return sg[num] = 0;
if(sg[num] != -1)return sg[num];
bool vis[MAXN + 5];//表示从石子数为num可以转换到哪些状态
for(int i = 1; i <= MAXN: i++){
vis[num - f[i]] = 1;
getsg(num - f[i]);
}
for(int i = 0; ; i++){
if(!vis[i])return sg[num] = i;//找mex,求出是几级必胜点
}
return sg[num];
}

求出三个数的SG值后,看 \(SG(n) ^ SG(m) ^ SG(p)\) 是否为 \(0\) 即可得出答案。

A multiplication game

给定一个 \(n\),令 \(p = 1\),甲和乙可以每次将 \(p\) 乘上一个属于 \([2,9]\) 的数,谁使 \(p\) 大于 \(n\) 谁就赢。求谁是必胜的。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<map>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 1e5;
int n;
map<int,int> sg,vis;
int getsg(int x){
if(x >= n)return sg[x] = 0;
if(vis.find(x) != vis.end())return sg[x];
vis[x] = 1;
int s[10];//9的十次方已经大于n的最大值了,故sg函数的值最大为9
memset(s,0,sizeof s);
for(int i = 2; i <= 9; i++){
s[getsg(x * i)] = 1;
}
for(int i = 0; i < 10; i++){
if(!s[i])return sg[x] = i;
}
return sg[x];
}
signed main(){
while(~scanf("%lld",&n)){
sg.clear();
vis.clear();
getsg(1);
if(sg[1])cout << "Stan wins.\n";
else cout << "Ollie wins.\n";
}
}

Cutting Game

两个人在一张大小为 \(h * w\) 纸上面切,每个人每次可以横着切一刀,也可以竖着切一刀,谁切出了 \(1 * 1\) 大小的纸,谁就获胜,问谁必胜。

注意到状态是二维的,即当前纸的长与宽。注意下SG函数的记录方法。

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 1e3;
int sg[MAXN + 5][MAXN + 6],n,m;
int getsg(int x,int y){
if(x < y)swap(x,y);
if(sg[x][y] != -1)return sg[x][y];
if(x == 1 && y == 1)return sg[x][y] = 1;
bool vis[4001];
memset(vis,0,sizeof vis);
for(int i = 2; i <= x - 2; i++){//横着切
vis[getsg(i,y) ^ getsg(x - i,y)] = 1;//每切一刀,就将当前纸分成了两张,也就是分成了两个子游戏,因此取异或的值
}
for(int i = 2; i <= y - 2; i++){//竖着切
vis[getsg(x,i) ^ getsg(x,y - i)] = 1;
}
for(int i = 0; i <= 4000; i++){
if(!vis[i])return sg[x][y] = i;
}
return sg[x][y];
}
int main(){
memset(sg,-1,sizeof sg);
for(int i = 2; i <= MAXN; i++){
sg[1][i] = 0;
}
while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
int ans = getsg(n,m);
if(ans)cout << "WIN\n";
else cout << "LOSE\n";;
}
}

NIM游戏/SG函数的更多相关文章

  1. BZOJ 1874: [BeiJing2009 WinterCamp]取石子游戏 [Nim游戏 SG函数]

    小H和小Z正在玩一个取石子游戏. 取石子游戏的规则是这样的,每个人每次可以从一堆石子中取出若干个石子,每次取石子的个数有限制,谁不能取石子时就会输掉游戏. 小H先进行操作,他想问你他是否有必胜策略,如 ...

  2. 组合游戏 - SG函数和SG定理

    在介绍SG函数和SG定理之前我们先介绍介绍必胜点与必败点吧. 必胜点和必败点的概念:        P点:必败点,换而言之,就是谁处于此位置,则在双方操作正确的情况下必败.        N点:必胜点 ...

  3. HDU 1536 S-Nim (组合游戏+SG函数)

    题意:针对Nim博弈,给定上一个集合,然后下面有 m 个询问,每个询问有 x 堆石子 ,问你每次只能从某一个堆中取出 y 个石子,并且这个 y 必须属于给定的集合,问你先手胜还是负. 析:一个很简单的 ...

  4. HDU 3032 Nim or not Nim? (sg函数)

    Nim or not Nim? Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)T ...

  5. BZOJ1188 [HNOI2007]分裂游戏(SG函数)

    传送门 拿到这道题就知道是典型的博弈论,但是却不知道怎么设计它的SG函数.看了解析一类组合游戏这篇论文之后才知道这道题应该怎么做. 这道题需要奇特的模型转换.即把每一个石子当做一堆石子,且原来在第i堆 ...

  6. Wannafly挑战赛23 T2游戏 SG函数

    哎,被卡科技了,想了三个小时,最后还是大佬给我说是\(SG\)函数. \(SG\)函数,用起来很简单,证明呢?(不可能的,这辈子都是不可能的) \(SG\)定理 游戏的\(SG\)函数就是各个子游戏的 ...

  7. BZOJ 1874: [BeiJing2009 WinterCamp]取石子游戏(SG函数)

    Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 162 MBSubmit: 871  Solved: 365[Submit][Status][Discuss] Description ...

  8. hdu 5795 A Simple Nim 博弈sg函数

    A Simple Nim Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others) Pro ...

  9. BZOJ 1874 取石子游戏 - SG函数

    Description $N$堆石子, $M$种取石子的方式, 最后取石子的人赢, 问先手是否必胜 $A_i <= 1000$,$ B_i <= 10$ Solution 由于数据很小, ...

  10. hdu 3980 Paint Chain 组合游戏 SG函数

    题目链接 题意 有一个\(n\)个珠子的环,两人轮流给环上的珠子涂色.规定每次涂色必须涂连续的\(m\)颗珠子,无法继续操作的人输.问先手能否赢. 思路 参考 转化 第一个人取完之后就变成了一条链,现 ...

随机推荐

  1. JDBC与JPA--初学JPA

      最近工程中用到JPA,头一次接触,踩了不少坑.刚好复习到JDBC,发现JPA用起来真是很简单.就对比一下这两者的区别 总结:JDBC是更接近数据库SQL的抽象,使用时依然使用的是SQL.优点是靠近 ...

  2. uniapp项目 hbuilder工程转cli工程 hbuilder工程不可以用命令行打包

    hbuilder工程不可以用命令行打包,只能用自带的发行手动打包 cli工程可以用命令行打包,可以配置多环境 1.安装空的cli项目 vue create -p dcloudio/uni-preset ...

  3. NPM镜像代理设置

    用户目录C:\Users\xxx下建立.npmrc文件,内容如下: registry="https://registry.npm.taobao.org" ELECTRON_MIRR ...

  4. 一键搭建dns

    #!/bin/bash DOMAIN=wang.orgHOST=wwwHOST_IP=10.0.0.100LOCALHOST=`hostname -I | awk '{print $1}'` . /e ...

  5. centos7.6镜像

    centos7.6镜像 https://archive.kernel.org/centos-vault/7.6.1810/isos/x86_64/

  6. 基于Docker搭建Redis集群(主从集群)

    基于Docker搭建Redis集群(主从集群)   最近陆陆续续有不少园友加我好友咨询 redis 集群搭建的问题,我觉得一定是之前写的这篇 <基于Docker的Redis集群搭建> 文章 ...

  7. 5vue 样式绑定

    <!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta charset="UTF-8&quo ...

  8. Vue父子组件传值——第一次传不过去之“怪象”?

    前言:最近写Vue父子组件传值出现第一次传不过去之"怪象",以为Vue的BUG呢.然则,是自己太菜"^_^"!!!特此记录以警己 <spec-param& ...

  9. Python笔记(4)——元组(Python编程:从入门到实践)

    元组 1. 元组:不可变的列表.元组一经创建不能被修改. 2. 表示:用圆括号()来表示,并用逗号来分隔其中的元素.可通过索引访问其元素. 3. 访问:访问列表元素,指出元组的名称,再指出元素的索引, ...

  10. Unity 安装的编辑器版本不见了 记录问题

    新的一天打开unity 报错,然后再打开就找不到我之前安装的编辑器版本了 (猜测是我不正常关闭的原因吧,不懂这个) 之前在网上找到过解决办法,后来找不到了.趁现在还记得,记录一下 先把进程停了 再把缓 ...