题目

首先令\(f_i\)表示权值和为\(i\)的二叉树数量,\(f_0=1\)。

转移为:\(f_k=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{k-c_i}f_j f_{k-c_i-j}\)

令多项式\(D=\sum_{i=0}^m [i在c中出现过]x^i\),\(F(x)为f的普通生成函数\),根据转移式发现F其实等于F卷积上F再卷积上D,再加上一个1,因为转移式转移不到\(f_0\)。

所以

\[\begin{align}
F&=F^2D+1\\
DF^2-F+1&=0\\
D^2F^2-DF+D&=0\\
(DF-\frac12)^2+D-\frac14&=0(配方)\\
(DF-\frac12)^2&=\frac14-D\\
DF-\frac12&=\pm \sqrt{\frac14-D}\\
\end{align}
\]

有两解,但是\(f_i\)肯定只有一种可能啊所以肯定有一个解不合法。


当取正号时:

\(DF-\frac12=\sqrt{\frac14-D}\),\(DF=\frac{\sqrt{1-4D}+1}{2}\)

等式右边的常数项为1,但是\(D\)的常数项为0,\(F\)的常数项为1,所以\(DF\)的常数项为0,矛盾。

所以只能取负号。

\[\begin{align}
DF&=\frac{1-\sqrt{1-4D}}{2}\\
F&=\frac{(1-\sqrt{1-4D})(1+\sqrt{1-4D})}{2D(1+\sqrt{1-4D})}\\
F&=\frac{2}{1+\sqrt{1-4D}}\\
\end{align}\\
\]

接下来直接多项式开根+求逆就行了。时间复杂度\(O(n logn)\)。

小知识:多项式能求逆的充要条件是常数项不为0,常数项>0则一定能开根。

点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>

#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define repn(i,n) for(int i=1;i<=n;++i)
#define LL long long
#define pii pair <LL,LL>
#define fi first
#define se second
#define mpr make_pair
#define pb push_back using namespace std; const LL MOD=998244353; LL qpow(LL x,LL a)
{
LL res=x,ret=1;
while(a>0)
{
if((a&1)==1) ret=ret*res%MOD;
a>>=1;
res=res*res%MOD;
}
return ret;
} namespace poly
{
vector <LL> rev;
void ntt(vector <LL> &a,LL G)
{
LL nn=a.size(),gn,g,x,y;vector <LL> tmp=a;
rep(i,nn) a[i]=tmp[rev[i]];
for(int len=1;len<nn;len<<=1)
{
gn=qpow(G,(MOD-1)/(len<<1));
for(int i=0;i<nn;i+=(len<<1))
{
g=1;
for(int j=i;j<i+len;++j,(g*=gn)%=MOD)
{
x=a[j];y=a[j+len]*g%MOD;
a[j]=(x+y)%MOD;a[j+len]=(x-y+MOD)%MOD;
}
}
}
}
vector <LL> convolution(vector <LL> a,vector <LL> b,LL G)
{
LL nn=1,bt=0,sv=a.size()+b.size()-1;while(nn<a.size()+b.size()-1) nn<<=1LL,++bt;
while(a.size()<nn) a.pb(0);while(b.size()<nn) b.pb(0);
rev.clear();
rep(i,nn)
{
rev.pb(0);
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bt-1));
}
ntt(a,G);ntt(b,G);
rep(i,nn) (a[i]*=b[i])%=MOD;
ntt(a,qpow(G,MOD-2));
while(a.size()>sv) a.pop_back();
LL inv=qpow(nn,MOD-2);
rep(i,a.size()) (a[i]*=inv)%=MOD;
return a;
}
vector <LL> inverse(vector <LL> a,LL G)
{
if(a.size()==1) return vector <LL>{qpow(a[0],MOD-2)};
vector <LL> aa=a;while(aa.size()>(a.size()+1)>>1) aa.pop_back();
vector <LL> bb=inverse(aa,G);
LL nn=1,bt=0,sv=a.size();while(nn<a.size()*2) nn<<=1LL,++bt;
while(a.size()<nn) a.pb(0);while(bb.size()<nn) bb.pb(0);
rev.clear();
rep(i,nn)
{
rev.pb(0);
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bt-1));
}
ntt(a,G);ntt(bb,G);
rep(i,nn) a[i]=(2LL-a[i]*bb[i]%MOD+MOD)*bb[i]%MOD;
ntt(a,qpow(G,MOD-2));
while(a.size()>sv) a.pop_back();
LL inv=qpow(nn,MOD-2);
rep(i,a.size()) (a[i]*=inv)%=MOD;
return a;
}
vector <LL> sqrt1(vector <LL> a,LL G)//常数项为1
{
if(a.size()==1) return vector <LL>{1};
vector <LL> aa=a;while(aa.size()>(a.size()+1)>>1) aa.pop_back();
vector <LL> bb=sqrt1(aa,G);while(bb.size()<a.size()) bb.pb(0);
vector <LL> bbb=inverse(bb,G);
LL nn=1,bt=0,sv=a.size();while(nn<a.size()*2) nn<<=1LL,++bt;
while(a.size()<nn) a.pb(0);while(bb.size()<nn) bb.pb(0);while(bbb.size()<nn) bbb.pb(0);
rev.clear();
rep(i,nn)
{
rev.pb(0);
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bt-1));
}
LL mul=qpow(2,MOD-2);
ntt(a,G);ntt(bb,G);ntt(bbb,G);
rep(i,nn) a[i]=mul*(bb[i]+bbb[i]*a[i]%MOD)%MOD;
ntt(a,qpow(G,MOD-2));
while(a.size()>sv) a.pop_back();
LL inv=qpow(nn,MOD-2);
rep(i,a.size()) (a[i]*=inv)%=MOD;
return a;
}
} LL n,m;
vector <LL> c; int main()
{
cin>>n>>m;
rep(i,100001) c.pb(0);
LL x;
rep(i,n)
{
scanf("%lld",&x);
c[x]=1;
}
c[0]=1;
repn(i,100000) c[i]=MOD-c[i]*4LL;
c=poly::sqrt1(c,3);
(c[0]+=1LL)%=MOD;
c=poly::inverse(c,3);
rep(i,c.size()) (c[i]+=c[i])%=MOD;
repn(i,m) printf("%lld\n",c[i]);
return 0;
}

[题解] Codeforces 438 E The Child and Binary Tree DP,多项式,生成函数的更多相关文章

  1. Codeforces 438E The Child and Binary Tree [DP,生成函数,NTT]

    洛谷 Codeforces 思路 看到计数和\(998244353\),可以感觉到这是一个DP+生成函数+NTT的题. 设\(s_i\)表示\(i\)是否在集合中,\(A\)为\(s\)的生成函数,即 ...

  2. 【CF438E】The Child and Binary Tree(多项式运算,生成函数)

    [CF438E]The Child and Binary Tree(多项式运算,生成函数) 题面 有一个大小为\(n\)的集合\(S\) 问所有点权都在集合中,并且点权之和分别为\([0,m]\)的二 ...

  3. Codeforces 250 E. The Child and Binary Tree [多项式开根 生成函数]

    CF Round250 E. The Child and Binary Tree 题意:n种权值集合C, 求点权值和为1...m的二叉树的个数, 形态不同的二叉树不同. 也就是说:不带标号,孩子有序 ...

  4. [bzoj3625][Codeforces 250 E]The Child and Binary Tree(生成函数+多项式运算+FFT)

    3625: [Codeforces Round #250]小朋友和二叉树 Time Limit: 40 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 650  Solved: 28 ...

  5. [题解] CF438E The Child and Binary Tree

    CF438E The Child and Binary Tree Description 给一个大小为\(n\)的序列\(C\),保证\(C\)中每个元素各不相同,现在你要统计点权全在\(C\)中,且 ...

  6. [codeforces438E]The Child and Binary Tree

    [codeforces438E]The Child and Binary Tree 试题描述 Our child likes computer science very much, especiall ...

  7. [LeetCode]题解(python):114 Flatten Binary Tree to Linked List

    题目来源 https://leetcode.com/problems/flatten-binary-tree-to-linked-list/ Given a binary tree, flatten ...

  8. [LeetCode]题解(python):110 Balanced Binary Tree

    题目来源 https://leetcode.com/problems/balanced-binary-tree/ Given a binary tree, determine if it is hei ...

  9. Codeforces 219D Choosing Capital for Treeland:Tree dp

    题目链接:http://codeforces.com/problemset/problem/219/D 题意: 给你一棵树,n个节点. 树上的边都是有向边,并且不一定是从父亲指向儿子的. 你可以任意翻 ...

随机推荐

  1. 「一本通 1.4 例 2」[USACO3.2]魔板 Magic Squares

    [USACO3.2]魔板 Magic Squares 题目背景 在成功地发明了魔方之后,鲁比克先生发明了它的二维版本,称作魔板.这是一张有8个大小相同的格子的魔板: 1 2 3 4 8 7 6 5 题 ...

  2. RSA算法概述

    RSA算法的概述(个人理解,欢迎纠正) RSA是一种基于公钥密码体制的优秀加密算法,1978年由美国(MIT)的李维斯特(Rivest).沙米尔(Shamir).艾德曼(Adleman)提的.RSA算 ...

  3. websocket、socket、http对比

    简介 在之前的理解中,讲述了socket.websocket等相关的理解,本文就socket.websocket.http理解一下其对应的联系和区别. HTTP 协议 http 为短连接:客户端发送请 ...

  4. Minimax 社论

    目录 题面 题解 代码 Reference 题面 LOJ #2537 / 洛谷 P5298 「PKUWC2018」Minimax 一棵有根二叉树 \(\mathcal T\) . 定义结点 \(x\) ...

  5. Linux—文件系统结构

    1.文件目录结构 /:是Linux系统的根目录 /bin:存放用户经常使用的命令 /boot:启动加载程序的静态文件 /dev:设备文件目录,不能单独分区 /etc:系统配置文件目录 /home:普通 ...

  6. 什么是双网口以太网IO模块

    MXXXE系列远程IO模块工业级设计,适用于工业物联网和自动化控制系统,MxxxE工业以太网远程 I/O 配备 2 个mac层数据交换芯片的以太网端口,允许数据通过可扩展的菊花链以太网远程 I/O 阵 ...

  7. JS for in / foreach / for of 超简单对照解释

    for in 可以遍历数组/对象/字符串/enumerable对象,得到的是索引,遍历对象时可以写这样 obj[index] 代表对象当前的属性foreach 只能遍历数组,不能遍历字符串.对象for ...

  8. C#里如何简单的校验时间格式

    前言: 晚上打算睡觉的时候,群里反馈订单接收失败,开工排查问题,日志显示验签失败,发现一个蛮有意思的BUG,总算有了一个写作的素材 场景描述 本次的场景属于比较常见的收单API,对第三方的订单进行签名 ...

  9. Dolphin Scheduler 1.1.0升级1.2.0避坑指南

    本文章经授权转载 组件介绍 Apache Dolphin Scheduler是一个分布式易扩展的可视化DAG工作流任务调度系统.致力于解决数据处理流程中错综复杂的依赖关系,使调度系统在数据处理流程中开 ...

  10. 统计 Word 文档字数的方式

    描述 欲统计某文档的字数,有两种方式. "审阅"选项卡--"校对"组--字符统计 点击左下角字数统计 审阅查看字数 此步骤较为复杂,在审阅选项卡中可以查询文档的 ...