P3240 [HNOI2015]实验比较树形DP

$\color{#0066ff}{ 题目描述 }$

小D 被邀请到实验室，做一个跟图片质量评价相关的主观实验。实验用到的图片集一共有 $N$ 张图片，编号为 $1$ 到$N$。实验分若干轮进行，在每轮实验中，小 D会被要求观看某两张随机选取的图片，然后小D 需要根据他自己主观上的判断确定这两张图片谁好谁坏，或者这两张图片质量差不多。用符号”$<$“、”$>$“和”$=$“表示图片 $x$和$y$（$x$、$y$为图片编号）之间的比较：

如果上下文中 $x$ 和 $y$ 是图片编号，则 $x<y$ 表示图片 xx”质量优于“$y$，$x>y$ 表示图片 $x$”质量差于“$y$，$x=y$表示图片 $x$和 $y$”质量相同“；

也就是说，这种上下文中，”$<$“、”$>$“、”$=$“分别是质量优于、质量差于、质量相同的意思；在其他上下文中，这三个符号分别是小于、大于、等于的含义。图片质量比较的推理规则（在 x和y是图片编号的上下文中）：

（1）$x < y$等价于 $y > x$。

（2）若 $x < y$ 且$y = z$，则$x < z$。

（3）若$x < y$且 $x = z$，则 $z < y$。

（4）$x=y$等价于 $y=x$。

（5）若$x=y$且 $y=z$，则$x=z$。

实验中，小 D 需要对一些图片对$(x, y)$，给出 $x < y$ 或 $x = y$ 或 $x > y$ 的主观判断。小D 在做完实验后，忽然对这个基于局部比较的实验的一些全局性质产生了兴趣。在主观实验数据给定的情形下，定义这 $N$ 张图片的一个合法质量序列为形如”$x_1$ $R_1$ $x_2$ $R_2$ $x_3$ $R_3$ ...... $x_{N-1}$ $R_{N-1}$ $x_N$“的串，也可看作是集合{ $x_i{ R_i x_{i+1} |1\leq i\leq N-1\}}$，其中 $x_i$为图片编号，$x_1$,$x_2$,...,$x_N$两两互不相同（即不存在重复编号），$R_i$为$<$或$=$，”合法“是指这个图片质量序列与任何一对主观实验给出的判断不冲突。

例如：质量序列$3 < 1 = 2$ 与主观判断”$3 > 1,3 = 2$“冲突（因为质量序列中 $3<1$ 且$1=2$，从而$3<2$，这与主观判断中的 $3=2$ 冲突；同时质量序列中的 $3<1$ 与主观判断中的 $3>1$ 冲突），但与主观判断”$2 = 1$，$3 < 2$“ 不冲突；因此给定主观判断”$3>1$，$3=2$“时，$1<3=2$ 和$1<2=3$ 都是合法的质量序列，$3<1=2$ 和$1<2<3$都是非法的质量序列。由于实验已经做完一段时间了，小D 已经忘了一部分主观实验的数据。对每张图片 $i$，小 D 都最多只记住了某一张质量不比 $i$ 差的另一张图片 $K_i$。这些小 D 仍然记得的质量判断一共有 $M$ 条（$0 \leq M \leq N$），其中第$i$ 条涉及的图片对为($K_{X_i}, X_i$)，判断要么是$K_{X_i} < X_i$ ，要么是$K_{X_i} = X_i$，而且所有的$X_i$互不相同。小D 打算就以这$M$ 条自己还记得的质量判断作为他的所有主观数据。

现在，基于这些主观数据，我们希望你帮小 D 求出这 N 张图片一共有多少个不同的合法质量序列。

我们规定：如果质量序列中出现”$x = y$“，那么序列中交换 $x$和$y$的位置后仍是同一个序列。因此： $1<2=3=4<5$ 和$1<4=2=3<5$ 是同一个序列， $1 < 2 = 3$ 和 $1 < 3 = 2$ 是同一个序列，而$1 < 2 < 3$ 与$1 < 2 = 3$是不同的序列，$1<2<3$和$2<1<3$ 是不同的序列。由于合法的图片质量序列可能很多，所以你需要输出答案对$10^9 + 7$ 取模的结果

$\color{#0066ff}{输入格式}$

第一行两个正整数$N$,$M$，分别代表图片总数和小D仍然记得的判断的条数；接下来$M$行，每行一条判断，每条判断形如“$x < y$“或者“$x = y$“。

$\color{#0066ff}{输出格式}$

输出仅一行，包含一个正整数，表示合法质量序列的数目对 $10^9+7$取模的结果。

$\color{#0066ff}{输入样例}$

$\color{#0066ff}{输出样例}$

$\color{#0066ff}{数据范围与提示}$

不同的合法序列共5个，如下所示：

1 = 5 < 2 < 3 < 4

1 = 5 < 2 < 4 < 3

1 = 5 < 2 < 3 = 4

1 = 5 < 3 < 2 < 4

1 = 5 < 2 = 3 < 4

100%的数据满足N<=100。

$\color{#0066ff}{ 题解 }$

首先，用ufs把等号的点缩起来（没影响），然后开始判无解

因为每个点小于的信息最多只有一个，所以可以用并查集判断无解

而且根据这个条件，可以连边弄出一个森林，显然我们需要一个超级源建立一棵树

然后可以愉快的开始树形DP了

常规的设法，$f[i]$表示以i为根子树的方案

但是发现并不行

因为两个序列合并的时候可以是小于，还可以是相等

也就是说对于i的子树的两个不同的节点uv，他们的子树可能存在两个节点相等的情况

设$f[u][i]$表示$u$的子树里，分成$i$段（也就是共有$i-1$个小于号把质量序列分成了$i$个部分，每个部分里的图片质量相等）的方案数，然后做一次树形背包DP（当前枚举到了$u$的子节点$v$，f'表示枚举到子节点$v$前的DP值）：

$f[u][i]=\sum_{j,k}f'[u][j]\times f[v][k]\times C_{i−1}^{j−1}\times C_{j−1}^{k−i+j}$

后面两个是把j段和k段合并为i段的方案

设$f[u]$的质量序列为$A$，$f'[u]$的质量序列为$B$，$f[v]$的质量序列为$C$。

$A$中的每一段可以只包含$B$中的一段，可以只包含$C$中的一段，也可以有$B$和$C$各一段合并而成，但不能为空。特殊地，$A$的第一段只能包含节点$u$。

相当于先枚举$B$中的$j-1$段在$A$中放的位置，方案数为$C_{i-1}^{j-1}$，然后把$C$中的$i-j$段放到$A$中剩下的位置，使每一段都不为空。现在$C$还剩下$k-i+j$个段，他们需要与$B$中的段合并，方案数$C_{j-1}^{k-i+j}$。

最后总答案为 $\sum_{i}f[n+1][i]$。

#include<bits/stdc++.h>

#define LL long long

LL in() {

	char ch; LL x = 0, f = 1;

	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);

	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));

	return x * f;

}

const int mod = 1e9 + 7;

const int maxn = 520;

LL f[maxn][maxn], g[maxn], C[maxn][maxn];

int fa[maxn], siz[maxn], du[maxn], bel[maxn];

bool vis[maxn];

struct node {

	int to;

	node *nxt;

	node(int to = 0, node *nxt = NULL): to(to), nxt(nxt) {}

	void *operator new(size_t) {

		static node *S = NULL, *T = NULL;

		return (S == T) && (T = (S = new node[1024]) + 1024), S++;

	}

};

struct E {

	int x, y, tp;

}e[maxn];

node *head[maxn];

void add(int from, int to) {

	head[from] = new node(to, head[from]);

}

char getch() {

	char ch = getchar();

	while(ch != '<' && ch != '=') ch = getchar();

	return ch;

}

int n, m;

void predoit() {

	C[0][0] = 1;

	for(int i = 1; i <= n; i++) {

		C[i][0] = 1;

		for(int j = 1; j <= i; j++) C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % mod;

	}

}

int findset(int x) { return x == fa[x]? fa[x] : fa[x] = findset(fa[x]); }

void dfs(int x) {

	siz[x] = 1, f[x][1] = 1;

	for(node *i = head[x]; i; i = i->nxt) {

		dfs(i->to);

		for(int v = 1; v <= n; v++) g[v] = 0;

		for(int v = 1; v <= siz[x] + siz[i->to]; v++)

			for(int j = 1; j <= siz[x]; j++)

				for(int k = 1; k <= siz[i->to]; k++) {

					int p = k - v + j;

					if(p < 0) continue;

					(g[v] += f[x][j] * f[i->to][k] % mod * C[v - 1][j - 1] % mod * C[j - 1][p] % mod) %= mod;

				}

		for(int v = 1; v <= siz[x] + siz[i->to]; v++) f[x][v] = g[v];

		siz[x] += siz[i->to];

	}

}

int main() {

	n = in(), m = in();

	predoit();

	for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;

	for(int i = 1; i <= m; i++) e[i].x = in(), e[i].tp = getch() == '=', e[i].y = in();

	for(int i = 1; i <= m; i++) {

		if(!e[i].tp) continue;

		int xx = findset(e[i].x);

		int yy = findset(e[i].y);

		if(xx != yy) fa[xx] = yy;

	}

	for(int i = 1; i <= n; i++) vis[bel[i] = findset(i)] = true;

	for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;

	for(int i = 1; i <= m; i++) {

		if(e[i].tp) continue;

		add(bel[e[i].x], bel[e[i].y]), du[bel[e[i].y]]++;

		int xx = findset(bel[e[i].x]), yy = findset(bel[e[i].y]);

		if(xx == yy) return puts("0"), 0;

		fa[xx] = yy;

	}

	for(int i = 1; i <= n; i++) if(!du[i] && vis[i]) add(n + 1, i);

	dfs(n + 1);

	LL ans = 0;

	for(int i = 1; i <= n + 1; i++) (ans += f[n + 1][i]) %= mod;

	printf("%lld\n", ans);

	return 0;

}