N是完全平方数 <----> N有奇数个约数

设:N = n*n

充分性:

1、N=1时,N的约数为1,为奇数

2、N>1时,1.....n......N,其中 1, n, N为N的3个约数。若在1~n之间存在另外一个约数m1,则在n~N之间必存在约数N/m1,同理,有m2,则存在N/m2,即必有 (3 + 偶数)个,为奇数

必要性:

1、如果N的约数只有两个,那只能是1和N本身,则N是一个质数,肯定不是完全平方数

2、若N除了1和N本身之外,还存在另外一个约数m,则必存在约数N/m,所以N的约数为(2 + 偶数)个,为偶数

3、除非m与N/m相等,这样才能将“两个”约数合并为1个约数,产生奇数个约数。即 m = N/m , N = m*m,即,N是完全平方数

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