实 Jordan 标准型和实 Weyr 标准型

将学习到什么

本节讨论关于实矩阵的实形式的 Jordan 标准型，也讨论关于复矩阵的另外一种形式的 Jordan 标准型，因为它在与交换性有关的问题中很有用.

实 Jordan 标准型

假设 $A \in M_n(\mathbb{R})$, 所以任何非实的特征值必定成对共轭出现，由于结任何 $\lambda \in \mathbb{C}$, 以及所有 $k=1,2,\cdots$ 我们有 $\mathrm{rank} \, (A-\lambda I)^k= \mathrm{rank} \, \overline{(A-\lambda I)^k}=\mathrm{rank} \, \overline{(A-\lambda I)}^k=\mathrm{rank} \, (A-\bar{\lambda} I)^k$, 所以我们断定 $A$ 的各种阶的有非实特征值的 Jordan 分块中，同阶的分块总是共轭成对出现. 比如，如果在 $A$ 的 Jordan 标准型中有 $k$ 个分块 $J_2(\lambda)$, 那么有 $k$ 个分块 $J_2(\bar{\lambda})$, 分块对角矩阵
\begin{align}
\begin{bmatrix} J_2(\lambda) & \\ 0 & J_2(\bar{\lambda}) \end{bmatrix} = \left [ \begin{array}{cc|cc} \lambda & 1 & \\ 0 & \lambda & & \\ \hline & & \bar{\lambda} & 1 \\ && 0& \bar{\lambda} \end{array} \right ]
\end{align}
通过交换 2，3 行以及 2，3 列，其置换相似于分块上三角矩阵
\begin{align}
\left [ \begin{array}{cc|cc} \lambda & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \bar{\lambda} & 0 & 1 \\ \hline & & \lambda & 0 \\ && 0& \bar{\lambda} \end{array} \right ] =\begin{bmatrix} D(\lambda) & I_2 \\ & D(\lambda) \end{bmatrix}
\end{align}
其中 $ D(\lambda)=\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \bar{\lambda} \end{bmatrix} \in M_2$.
一般来说，形如
\begin{align} \label{e1}
\begin{bmatrix} J_k(\lambda) & \\ 0 & J_k(\bar{\lambda}) \end{bmatrix} \in M_{2k}
\end{align}
的 Jordan 矩阵置换相似于分块上三角（分块双对角）矩阵
\begin{align} \label{e4}
\begin{bmatrix} D(\lambda) & I_2 & & & \\ & D(\lambda) & I_2 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ &&& \ddots & I_2 \\ &&&& D(\lambda) \end{bmatrix} \in M_{2k}
\end{align}
实现地时候可按照上述举例方法一步步上移，注意避免下对角出现非零元素. 它在分块主对角线上有 $k$ 个 $2 \times 2$ 的块 $D(\lambda)$, 且分块超对角线上有 $k-1$ 个分块 $I_2$.
设 $\lambda=a+\mathrm{i}b, a,b \in \mathbb{R}$. 计算表明 $D(\lambda)$ 相似于实矩阵
\begin{align} \label{e111}
C(a,b):=\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} =SD(\lambda)S^{-1}
\end{align}
其中 $S=\begin{bmatrix} -\mathrm{i} & -\mathrm{i} \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$, 而 $S^{-1}=\dfrac{1}{2\mathrm{i}}\begin{bmatrix} -1 & \mathrm{i} \\ -1 & -\mathrm{i} \end{bmatrix}$. 此外，对非实的 $\lambda$, 每一个形如 \ref{e4} 的分块矩阵都通过相似矩阵 $S\oplus \cdots \oplus S$（$k$ 个直和项）与形如
\begin{align} \label{e3}
C_k(a,b):=\begin{bmatrix} C(a,b) & I_2 & & & \\ & C(a,b) & I_2 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ &&& \ddots & I_2 \\ &&&& C(a,b) \end{bmatrix} \in M_{2k}
\end{align}
的实分块矩阵相似. 从而每一个形如 \ref{e1} 的分块对角矩阵都相似于 \ref{e3} 中的矩阵 $C_k(a,b)$. 这些结论将我们引导到实 Jordan 标准型定理.

定理1： 每一个 $A \in M_n{\mathbb{R}}$ 都通过一个实相似与一个形如
\begin{align} \label{e5}
C_{n_1}(a_1,b_1) \oplus \cdots \oplus C_{n_p}(a_p,b_p) \oplus J_{m_1}(\mu_1) \oplus \cdots \oplus J_{m_r}(\mu_r)
\end{align}
的实分块对角矩阵相似，其中 $\lambda_k=a_k+\mathrm{i}b_k(k=1,2,\cdots p) $ 是 $A$ 的非实特征值，每一个 $a_k$ 以及 $b_k$ 都是实的，且 $b_k >0$, 而 $\mu_1,\cdots,\mu_r$ 是 $A$ 的实特征值. 每一个实的分块三角矩阵 $C_{n_k}(a_k,b_k) \in M_{2n_k}$ 都有 \ref{e3} 的形式，且与 $A$ 的 Jordan 标准型中与非零的实特征值 $\lambda_k$ 相关的一对共轭 Jordan 块 $J_{n_k}(\lambda_k),J_{n_k}(\overline{\lambda_k}) \in M_{n_k}$ 相对应. \ref{e5} 中的实的 Jordan 块 $J_{m_k}(\mu_k)$ 就是Jordan 标准型中有实特征值的那些 Jordan 块.

分块矩阵 \ref{e5} 就是 $A$ 的实 Jordan 标准型. 下面的推论总结了另外几个与实矩阵相似的有用和判别法.

推论1： 设给定 $A \in M_n$. 则以下诸命题等价：
(a) $A$ 与一个实矩阵相似.
(b) 对 $A$ 的每个非零特征值 $\lambda$ 以及每个 $k=1,2,\cdots$, 分块 $J_k{\lambda}$ 以及 $J_k{\bar{\lambda}}$ 各自的个数相等.
(c) 对 $A$ 的每个非实特征值 $\lambda$ 以及每个 $k=1,2,\cdots$, 分块 $J_k{\lambda}$ 以及 $J_k{\bar{\lambda}}$ 各自的个数相等.
(d) 对 $A$ 的每个非实特征值 $\lambda$ 以及每个 $k=1,2,\cdots$, $\mathrm{rank}\, (A-\lambda I)^k=\mathrm{rank}\,(A-\bar{\lambda}I)^k$.
(e) 对 $A$ 的每个非实特征值 $\lambda$ 以及每个 $k=1,2,\cdots$, $\mathrm{rank}\, (A-\lambda I)^k=\mathrm{rank}\,(\bar{A}-\lambda I)^k$.
(f) 对 $A$ 的每个非实特征值 $\lambda$, $A$ 与 $\lambda$ 以及与 $\bar{\lambda}$ 相关的 Weyr 特征是相同的.
(g) $A$ 与 $\bar{A}$ 相似.

推论2： 如果 $A = \begin{bmatrix} B & C \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \in M_n$, 而 $B \in M_m$ 与一个实矩阵相似，那么 $A$ 与一个实矩阵相似.

证明：假设 $S\in M_m$ 是非奇异的，且 $SBS^{-1}=R$ 是实的. 那么 $\mathcal{A} =(S \oplus I_{n-m})A(S \oplus I_{n-m})^{-1}= \begin{bmatrix} R & \bigstar \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ 与 $A$ 相似. 现在只要证明 $\mathcal{A}$ 与实矩阵相似就好了. 如果 $\lambda \neq 0$, 那么
\begin{align}
(\mathcal{A}-\lambda I)^k = \begin{bmatrix} (R-\lambda I)^k & \bigstar \\ & (-\lambda)^k I_{n-m} \end{bmatrix} \notag
\end{align}
与
\begin{align}
(\bar{\mathcal{A}}-\lambda I)^k = \begin{bmatrix} (R-\lambda I)^k & \bigstar \\ & (-\lambda)^k I_{n-m} \end{bmatrix} \notag
\end{align}
的列秩相同：$n-m+\mathrm{rank}(R-\lambda I)^k$. 我们断言 $\mathcal{A}$ 与 $\bar{\mathcal{A}}$ 相似，所以 $\mathcal{A}$ 与实矩阵相似.

推论3： 对每个 $A\in M_n$, $A\bar{A}$ 与 $\bar{A}A$ 相似，也与一个实矩阵相似.

证明： $A \bar{A}$ 与 $\bar{A} A$ 的非奇异的 Jordan 构造是相同的. 由于矩阵与它的复共轭有同样的秩，对每个 $k=1,2,\cdots$ 有 $\mathrm{rank} (A \bar{A})^k= \mathrm{rank} \overline{(A \bar{A})^k} = \mathrm{rank} \overline{(A \bar{A})}^k= \mathrm{rank} (\bar{A} A )^k$. 于是，$A\bar{A}$ 与 $\bar{A}A$ 的幂零部分的 Jordan 构造也是相同的，所以 $A\bar{A}$ 与 $\bar{A}A$ 相似. 由于 $\bar{A}A=\overline{A \bar{A}}$, 所以 $A \bar{A}$ 与一个实矩阵相似.

由 Schur 型知，每个复方阵 $A$ 通过一个复相似而与一个复的上三角矩阵 $T$ 相似. 如果 $A$ 可以对角化，对么它通过一个复相似而与一个对角矩阵相似，且这个对角矩阵的对角元素与 $T$ 的对角元素相同，这些元素就是 $A$ 的特征值. 那么这个结论的实的类似结果是什么？

每一个实方阵 $A$ 通过一个实相似与一实的上拟三角矩阵 $T$ 相似，其中任何 $2 \times 2$ 对角分块都有特殊的形式(\ref{e111}). 如果 $A$ 可以对角化，则实 Jordan 标准型定理的如下推论就确保 $A$ 通过一个实相似与一个实的拟对角矩阵相似，它的对角分块与 $T$ 的对角分块相同.

推论4： 设给定 $A\in M_n(\mathbb{R})$, 并假设它可以对角化. 设 $\mu_1,\cdots, \mu_q$ 是 $A$ 的实特征值，并设 $a_1 + \mathrm{i} b_1, \cdots, a_1 + \mathrm{i} b_{\ell}$ 是 $A$ 的非实特征值，其中每个 $b_j >0$. 那么 $A$ 通过一个实相似与
\begin{align}
C_1(a_1, b_1) \oplus \cdots \oplus C_1(a_{\ell}, b_{\ell}) \oplus [\mu_1] \oplus \cdots \oplus [\mu_q]
\end{align}
相似.

证明： 这是式 (\ref{e5}) 中 $n_1 = \cdots =n_p=m_1=\cdots = m_r=1$ 的情形.

Weyr 标准型

基本定义

Weyr 特征在我们关于 Jordan 标准型的唯一性的讨论中起着关键的作用，它还可以用来定义一种相似标准型. 我们先来定义 Weyr 分块.
设给定 $\lambda \in \mathbb{C}$, 设 $q \geqslant 1$ 是给定的正整数，$w_1 \geqslant \cdots \geqslant w_q \geqslant 1$ 是给定的由正整数组成的非增序列，又设 $w_1=(w_1,\cdots,w_q)$. 与 $\lambda$ 以及 $w$ 相关的 Weyr 分块 $W(w,\lambda)$ 是上三角的 $q \times q$ 分块双对角矩阵
\begin{align}
W(w,\lambda)=\begin{bmatrix} \lambda I_{w_1} & G_{w_1,w_2} &&& \\ & \lambda I_{w_2} & G_{w_2,w_3} && \\ && \ddots & \ddots & \\ &&& \ddots & G_{w_{q-1},w_q} \\ &&&& \lambda I_{w_q} \end{bmatrix}
\end{align}
其中
\begin{align} \label{e222}
G_{w_i,w_j}=\begin{bmatrix} I_{w_j} \\ 0 \end{bmatrix} \in M_{w_i,w_j}, \qquad 1 \leqslant i < j
\end{align}
注意到 $\mathrm{rank}\, G_{w_i,w_j}=w_j$, 且如果 $w_i=w_{i+1}$, 则有 $G_{w_i,w_{i+1}}=I_{w_i}$.
Weyr 分块 $W(w,\lambda)$ 可以被看成为与 Jordan 分块相似的 $q \times q$ 分块矩阵. 对角分块是按照阶的大小不增的次序排列的纯量矩阵 $\lambda I$, 而超对角线分块是列满秩的块 $\begin{bmatrix} I \\ 0 \end{bmatrix}$, 它的大小是由对角分块的大小所决定的.

式 (\ref{e222}) 中 Weyr 分块 $W(w,\lambda)$ 的大小是 $w_1+\cdots +w_q$, 由于 $G_{w_i,w_{i+1}}$ 都是列满秩的块，所以
\begin{align}
\mathrm{rank}(W(w,\lambda)-\lambda I) = w_2 +\cdots + w_q
\end{align}
直接计算可验证 $G_{w_{k-1},w_k} G_{w_k,w_{k+1}}=G_{w_{k-1},w_{k+1}}$, 即
\begin{align}
\begin{bmatrix} I_{w_k} \\ 0_{w_{k-1}-w_k, w_k} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_{w_{k+1}} \\ 0_{w_k-w_{k+1}, w_{k+1}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{w_{k+1}} \\ 0_{w_{k-1}-w_{k+1}, w_{k+1}} \end{bmatrix}
\end{align}
利用上式，我们发现
\begin{align}
(W(w,\lambda) - \lambda I)^2 = \begin{bmatrix} 0_{w_1} & 0 & G_{w_1,w_3} && \\ & 0_{w_2} & 0 & \ddots & \\ && 0_{w_3} & \ddots & G_{w_{q-2},w_q} \\ &&& \ddots & 0 \\ &&&& 0_{w_q} \end{bmatrix}
\end{align}
所以 $\mathrm{rank}(W(w,\lambda)-\lambda I)^2 = w_3 +\cdots + w\_q$. 按照此规律可推出 $\mathrm{rank}(W(w,\lambda)-\lambda I)^p = w_{p+1} +\cdots + w\_q$（对每个 $p=1,2,\cdots$）. 由此推出
\begin{align}
\mathrm{rank}(W(w,\lambda)-\lambda I)^{p-1} - \mathrm{rank}(W(w,\lambda)-\lambda I)^p = w_p, \quad p=1,\cdots ,q
\end{align}
所以 $W(w,\lambda)$ 的与特征值 $\lambda$ 相关和 Weyr 特征就是 $w$. 由特征值指数的定义知，式 (\ref{e222}) 中的对角分块的个数（参数 $q$）就是 $\lambda$ 作为 $W(w,\lambda)$ 的特征值的指数.

Weyr 矩阵是与不同的特征值对应的 Weyr 分块的直和.

对任意给定的 $A \in M_n$, 设 $q$ 是 $A$ 的特征值 $\lambda$ 的指数，设 $w_k=w_k(A,\lambda)(k=1,2,\cdots)$ 是 $A$ 的与 $\lambda$ 相关的 Weyr 特征，并定义 $A$ 的与特征值 $\lambda$ 相关的 Weyr 分块是
\begin{align}
W_A(\lambda) = W(w(A,\lambda), \lambda)
\end{align}
Weyr 分块 $W_A(\lambda)$ 的大小是 $\lambda$ 的代数重数.
为了加深理解，计算一个例子：
\begin{align}
W_J(0) = \begin{bmatrix} 0_6 & G_{6,5} & \\ & 0_5 & G_{5,2} \\ & & 0_2 \end{bmatrix} ,\quad W_{J}(0)^2 = \begin{bmatrix} 0_6 & 0_{6,5} & G_{6,2} \\ & 0_5 & 0_{5,2} \\ & & 0_2 \end{bmatrix} ,\quad W_J(0)^3 = 0
\end{align}
显然，$\mathrm{rank} W_{J}(0)=7=w_2+w_3$, 且 $\mathrm{rank} W_{J}(0)^2=2=w_3$. $W_{J}(0)$ 的与它（仅有的）特征值 $0$ 相关的 Weyr 特征是 $(6,5,2)$.

Weyr 标准型定理

定理2（Weyr 标准型定理）： 设给定 $A\in M_n$, 又设 $\lambda_1, \cdots, \lambda_d$ 是它的按照任意次序排列的不同的特征值. 则存在一个非奇异的 $S \in M_n$, 且存在 Weyr 分块 $W_1,\cdots,W_d$, 使得 (a) $W_j$ 的（仅有的）特征值是 $\lambda_j$ （对每个$j=1,\cdots,d$）以及 (b) $A=S(W_1 \oplus \cdots \oplus W_d) S^{-1}$. Weyr 矩阵（$A$ 与之相似）$W_1 \oplus \cdots \oplus W_d$ 由 $A$ 以及所列举出的给定的不同的特征值唯一确定：对每个 $j=1,\cdots,d$ 有 $W_j=W_A(\lambda_j)$, 所以
\begin{align}
A=S \begin{bmatrix} W_A(\lambda_1) & & \\ & \ddots & \\ & & W_A(\lambda_d) \end{bmatrix} S^{-1}
\end{align}
如果 $A$ 与一个 Weyr 矩阵相似，那么那个矩阵可以由 $W_A = W_A(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus W_A(\lambda_d)$ 通过它的直和项的一个排列而得到. 如果 $A$ 是实的且仅有实的特征值，那么 $S$ 可以选取为实的.

证明：先前的结论表明 $W_A = W_A(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus W_A(\lambda_d)$, 且对于它们的每一个不同的特征值，$A$ 的与之相关的 Weyr 特征都是相同的. 由于 $W_A$ 与 $A$ 都是相似于相同的 Jordan 标准型，所以它们相似. 如果两个 Weyr 矩阵相似，那么它们必定有同样的不同的特征值，且对于每个特征值有相同的与之相关的 Weyr 特征；由此推出，它们有同样的 Weyr 分块，这些分块在各自的直和中有不同的排列次序. 如果 $A$ 与它的所有的特征值都是实的，则 $W_A$ 是实的，且 $A$ 与 $W_A$ 通过一个实的相似而相似.

上个定理中的 Weyr 矩阵 $W_A$ 就是 $A$ 的 Weyr 标准型. Weyr 与 Jordan 标准型 $W_A$ 与 $J_A$ 包含了 $A$ 的同样的信息，不过各自是以不同的方式给出这些信息. Weyr 标准型以明显地方式展示了 $A$ 的 Weyr 特征，而 Jordan 标准型以明显的方式展示了它的 Segre 特征. 此外 $W_A$ 与 $J_A$ 还是置换相似的.

应该学习到什么

实矩阵才有实的 Jordan 标准型
矩阵 $A \in M_n$ 与一个实矩阵相似，等价于 $A$ 与 $\bar{A}$ 相似（因为它们有相同的实 Jordan 标准型）
对每个 $A\in M_n$, $A\bar{A}$ 与 $\bar{A}A$ 相似，也与一个实矩阵相似.
Weyr 分块 $W(w,\lambda)$ 由 Weyr 特征 $w$ 完全决定
Weyr 矩阵是与不同的特征值对应的 Weyr 分块的直和
Weyr 与 Jordan 标准型 $W_A$ 与 $J_A$ 包含了 $A$ 的同样的信息，且它们是置换相似的