Tarjan找桥和割点与点连通分量与边连通分量【未成形】

之前只学了个强连通Tarjan算法，然后又摸了缩点操作；

然后今天在lightoj摸了一道模板题，是求所有桥的题；

然后发现，要把：割点，割点集合，双连通，最小割边集合（桥），点连通分量，边连通分量都学一下。

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首先这个求割点是在无向图里面实现的（所以看到无向图有点感觉可以往这边考虑吧

先说割点，割点集合：

首先是割点这个问题啊，就是说在一个连通图里面，你删除某个点+这个点所连出去的边，图变成了不连通，就说这个点是割点，

然后呢我再说这句话就好理解了：在一个连通图中,如果有一个点集,删除这个点集+集合中所有点相关联的边,图变成了不连通，就称这个点集为割点集合。

若在连通图上至少删去k个顶点才能破坏图的连通性，则称此图的点连通度为k。

然后说桥；

类似的，如果一个边集，删除这些边（注意是要求删去边集所有边以后）以后，原图连通性被破坏，就称这个点集为割边集合。

一个图的边连通度的定义为最小割边集合中的边数。

当且仅当这个图的边连通度是1，则割边集合的唯一元素被称为桥；

//以下摘自PKU的PDF和 bin神模板

求割点

看了别人的博客：对啊，首先就是暴力一点，根据定义，我遍历所有的点，判断一下图是不是不连通了。

因为暴力所以优化啊。

在深度优先遍历整个图的过程中形成一棵搜索树（思路和有向图求强连通分量类似 ）:

第一种方法：

Dfn[u]定义和Tarjan算法一样，表示编号为i的节点在DFS过程中 的访问序号(也可以叫做开始时间）。

Low[u]定义为u或者u的子树中能够通过非父子边（父子边就是搜索树上的边），追溯到的最早的节点的DFS开始时间；

一个顶点u是割点，当且仅当满足(1)或(2)

(1)    是树根（其实这个根就一个，就是最先进去的点），且u有多于一个子树。

(2)    u不为树根，且存在(u,v)为树枝边（或称父子边，即u为v在搜索树中的父亲），使得dfn(u)<=low[v];

我斌模板理解：

const int N=1e4+10;
const int M=2e4+10;

struct Edge{
    int to;
    int next;
};
Edge q[M*2];
int head[M*2],tol,n,m;
int dfn[N],low[N];
int ind,top;
bool flag[N],vis[N];

void init()
{
    tol=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
}

void add(int u,int v)
{
    q[tol].to=v;
    q[tol].next=head[u];
    head[u]=tol++;
}

void Tarjan(int u,int pre)
{
    int v;
    int son=0;
    low[u]=dfn[u]=ind++;
    vis[u]=true;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=q[i].next)
    {
        v=q[i].to;
        if(v==pre)
            continue;
        if(!dfn[v])
        {
            son++;
            Tarjan(v,u);
            low[u]=min(low[v],low[u]);
            if(u!=pre&&low[v]>=dfn[u])//首先不是树根，且存在(u,v)为树枝边。
                flag[u]=true;
        }
        else
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(pre==u&&son>1)//是树根，且存在两棵子树
        flag[u]=true;
}

void qiugedian()
{
    //各种初始化；
    memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    memset(low,0,sizeof(low));
    memset(flag,0,sizeof(flag));
    ind=1;
    Tarjan(1,1);    //我们随便设个1作为树根，图上任意点都行，无所谓；
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(flag[i])
            ans++;
}

下面还是草稿、下次更新桥。。。。

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第二种方法：

也可以先用Tajan()进行dfs算出所有点的low和dfn值，并记录dfs过程中每个点的父节点，然后再把所有点看一遍，看其low和dfn,以找出割点和桥。

找桥的时候，要注意看有没有重边。有重边，则不是桥。

const int MAXN = 10010;
const int MAXM = 100010;
struct Edge
{
    int to,next;
    bool cut;               //是否为桥的标记
} edge[MAXM];
int head[MAXN],tot;
int Low[MAXN],DFN[MAXN],Stack[MAXN];
int Index,top;
bool Instack[MAXN];
bool cut[MAXN];
int add_block[MAXN];//删除一个点后增加的连通块
int bridge;
void addedge(int u,int v)
{
    edge[tot].to = v;
    edge[tot].next = head[u];
    edge[tot].cut = false;
    head[u] = tot++;
}

void Tarjan(int u,int pre)
{
    int v;
    Low[u] = DFN[u] = ++Index;
    Stack[top++] = u;
    Instack[u] = true;  //入栈标记
    int son = 0;        //对于节点u的
    for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
    {
        v = edge[i].to;
        if(v == pre)    //如果是他的父亲节点
            continue;
        if(!DFN[v])
        {
            son++;
            Tarjan(v,u);
            if(Low[u] > Low[v])
                Low[u] = Low[v];
            //桥
            //一条无向边(u,v)是桥，当且仅当(u,v)为树枝边，且满足DFN(u)<Low(v)。
            if(Low[v] > DFN[u])
            {
                bridge++;
                edge[i].cut = true;
                edge[i^1].cut = true;
            }
            //割点
            //一个顶点u是割点，当且仅当满足(1)或(2)
            //(1) u为树根，且u有多于一个子树
            //(2) u不为树根，且满足存在(u,v)为树枝边(或称父子边，即u为v在搜索树中的父亲)，使得DFN(u)<=Low(v)
            if(u != pre && Low[v] >= DFN[u])//不是树根
            {
                cut[u] = true;
                add_block[u]++;
            }
        }
        else if( Low[u] > DFN[v])
            Low[u] = DFN[v];
    }
    //树根，分支数大于1
    if(u == pre && son > 1) cut[u] = true;
    if(u == pre)
        add_block[u] = son - 1;
    Instack[u] = false;
    top--;
}