【bzoj2819】Nim DFS序+树状数组+倍增LCA

题目描述

著名游戏设计师vfleaking，最近迷上了Nim。普通的Nim游戏为：两个人进行游戏，N堆石子，每回合可以取其中某一堆的任意多个，可以取完，但不可以不取。谁不能取谁输。这个游戏是有必胜策略的。于是vfleaking决定写一个玩Nim游戏的平台来坑玩家。
为了设计漂亮一点的初始局面，vfleaking用以下方式来找灵感：拿出很多石子，把它们聚成一堆一堆的，对每一堆编号1,2,3,4,...n,在堆与堆间连边，没有自环与重边，从任意堆到任意堆都只有唯一一条路径可到达。然后他不停地进行如下操作：
1.随机选两个堆v,u，询问若在v到u间的路径上的石子堆中玩Nim游戏，是否有必胜策略，如果有，vfleaking将会考虑将这些石子堆作为初始局面之一，用来坑玩家。
2.把堆v中的石子数变为k。
由于vfleaking太懒了，他懒得自己动手了。请写个程序帮帮他吧。

输入

第一行一个数n，表示有多少堆石子。
接下来的一行，第i个数表示第i堆里有多少石子。
接下来n-1行，每行两个数v,u，代表v,u间有一条边直接相连。
接下来一个数q，代表操作的个数。
接下来q行，每行开始有一个字符：
如果是Q，那么后面有两个数v,u，询问若在v到u间的路径上的石子堆中玩Nim游戏，是否有必胜策略。
如果是C，那么后面有两个数v,k，代表把堆v中的石子数变为k。
对于100%的数据：
1≤N≤500000, 1≤Q≤500000, 0≤任何时候每堆石子的个数≤32767
其中有30%的数据：
石子堆组成了一条链，这3个点会导致你DFS时爆栈（也许你不用DFS？）。其它的数据DFS目测不会爆。
注意：石子数的范围是0到INT_MAX

输出

对于每个Q，输出一行Yes或No，代表对询问的回答。

样例输入

【样例输入】
5
1 3 5 2 5
1 5
3 5
2 5
1 4
6
Q 1 2
Q 3 5
C 3 7
Q 1 2
Q 2 4
Q 5 3

样例输出

Yes
No
Yes
Yes
Yes

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题解

DFS序+树状数组+倍增LCA

首先有一个结论：Nim游戏先手必胜的充分必要条件是每堆石子个数的异或和不为0。证明到处都有，这里不证了。

所以我们只需要维护两个点路径上数的异或和即可。

考虑到x^x=0，所以我们可以维护一个DFS入栈出栈序，每个位置的权值都是w[x]。

在查询时，可以用root~x与root~y异或，但是由于图中是点权，这样做会丢掉lca(x,y)，所以需要再求一次lca并加到答案中。

使用树状数组维护异或和，树上倍增求lca，时间复杂度为$O(n\log n)$

另外，本题裸上dfs的话，如果只传递一个参数，是不会爆栈的。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 500010
using namespace std;
int a[N] , head[N] , to[N << 1] , next[N << 1] , cnt , fa[N][20] , deep[N] , log[N] , f[N << 1] , v[N << 1] , tot , lp[N] , rp[N];
char str[5];
void add(int x , int y)
{
	to[++cnt] = y , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
}
void dfs(int x)
{
	int i;
	lp[x] = ++tot , v[tot] = a[x];
	for(i = 1 ; i <= log[deep[x]] ; i ++ )
		fa[x][i] = fa[fa[x][i - 1]][i - 1];
	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
		if(to[i] != fa[x][0])
			fa[to[i]][0] = x , deep[to[i]] = deep[x] + 1 , dfs(to[i]);
	rp[x] = ++tot , v[tot] = a[x];
}
int getlca(int x , int y)
{
	int i;
	if(deep[x] < deep[y]) swap(x , y);
	for(i = log[deep[x] - deep[y]] ; ~i ; i -- )
		if(deep[x] - (1 << i) >= deep[y])
			x = fa[x][i];
	for(i = log[deep[x]] ; ~i ; i -- )
		if(deep[x] - (1 << i) >= 0 && fa[x][i] != fa[y][i])
			x = fa[x][i] , y = fa[y][i];
	return x == y ? x : fa[x][0];
}
void update(int x , int a)
{
	int i;
	for(i = x ; i <= tot ; i += i & -i) f[i] ^= a;
}
int query(int x)
{
	int i , ans = 0;
	for(i = x ; i ; i -= i & -i) ans ^= f[i];
	return ans;
}
int main()
{
	int n , m , i , x , y , t;
	scanf("%d" , &n);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &a[i]);
	for(i = 1 ; i < n ; i ++ ) scanf("%d%d" , &x , &y) , add(x , y) , add(y , x);
	for(i = 2 ; i <= n ; i ++ ) log[i] = log[i >> 1] + 1;
	dfs(1);
	for(i = 1 ; i <= tot ; i ++ ) update(i , v[i]);
	scanf("%d" , &m);
	while(m -- )
	{
		scanf("%s%d%d" , str , &x , &y);
		if(str[0] == 'Q') t = getlca(x , y) , printf("%s\n" , query(lp[x]) ^ query(lp[y]) ^ a[getlca(x , y)] ? "Yes" : "No");
		else update(lp[x] , a[x] ^ y) , update(rp[x] , a[x] ^ y) , a[x] = y;
	}
	return 0;
}