乘法逆元__C++
在开始之前我们先介绍3个定理:
1.乘法逆元(在维基百科中也叫倒数,当然是 mod p后的,其实就是倒数不是吗?):
如果ax≡1 (mod p),且gcd(a,p)=1(a与p互质),则称a关于模p的乘法逆元为x。
2.费马小定理(定义来自维基百科):
假如a是一个整数,p是一个质数,那么是p的倍数,可以表示为
如果a不是p的倍数,这个定理也可以写成
3.
扩展欧几里得
- (定义来自维基百科):
已知整数a、b,扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时,能找到整数x、y(其中一个很可能是负数),使它们满足贝祖等式。
好了,在明白上面的定理后我们开始分析乘法逆元:ax≡1 (mod p) 这个等式用中文描述就是 a乘一个数x并模p等于1,即 a%p*x%p=res,res%p=1;看上去就是同余定理的一个简单等式- -。那么问题来了。
为什么可以用费马小定理来求逆元呢?
由费马小定理 ap-1≡1 两边同时乘 ap-1 得 ap-2≡ap-1 ,两边同时除 ap-1 得 ap-2/ ap-1≡1, 变形得 a*ap-2≡1(mod p),答案已经很明显了:若a,p互质,因为a*ap-2≡1(mod p)且a*x≡1(mod p),则x=ap-2(mod p),用快速幂可快速求之。
为什么可以用扩展欧几里得求得逆元?
我们都知道模就是余数,比如12%3=12-12/3=1,18%2=18-18/5=3。(/是程序运算中的除)
那么ax≡1 (mod p)即ax-yp=1.把y写成+的形式就是ax+py=1,为方便理解下面我们把p写成b就是ax+by=1。就表示x是a的模b乘法逆元,y是b的模a乘法逆元。然后就可以用扩展欧几里得求了。
知道逆元怎么算之后,那么乘法逆元有什么用呢?
做题时如果结果过大一般都会让你模一个数,确保结果不是很大,而这个数一般是1e9+7,而且这个数又是个素数,加减乘与模运算的顺序交换不会影响结果,但是除法不行。有的题目要求结果mod一个大质数,如果原本的结果中有除法,比如除以a,那就可以乘以a的逆元替代。(除一个数等于乘它的倒数,虽然这里的逆元不完全是倒数,但可以这么理解,毕竟乘法逆元就是倒数的扩展)。
扩展欧几里得求逆元代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
void exgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){
if(!b) { d = a; x = ; y = ; }
else{ exgcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }
}
ll inv(ll a, ll p){
ll d,x,y;
exgcd(a,p,d,x,y);
return d == ? (x+p)%p : -;
}
int main()
{
ll a,p;
while(){
scanf("%lld %lld",&a,&p);
printf("%lld\n",inv(a,p));
}
}
乘法逆元__C++的更多相关文章
- Bzoj2154 Crash的数字表格 乘法逆元+莫比乌斯反演(TLE)
题意:求sigma{lcm(i,j)},1<=i<=n,1<=j<=m 不妨令n<=m 首先把lcm(i,j)转成i*j/gcd(i,j) 正解不会...总之最后化出来的 ...
- 51nod1256(乘法逆元)
题目链接: http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1256 题意:中文题诶~ 思路: M, N 互质, 求满足 K ...
- 【板子】gcd、exgcd、乘法逆元、快速幂、快速乘、筛素数、快速求逆元、组合数
1.gcd int gcd(int a,int b){ return b?gcd(b,a%b):a; } 2.扩展gcd )extend great common divisor ll exgcd(l ...
- HDU 5651 计算回文串个数问题(有重复的全排列、乘法逆元、费马小定理)
原题: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5651 很容易看出来的是,如果一个字符串中,多于一个字母出现奇数次,则该字符串无法形成回文串,因为不能删减 ...
- Codeforces 543D Road Improvement(树形DP + 乘法逆元)
题目大概说给一棵树,树的边一开始都是损坏的,要修复一些边,修复完后要满足各个点到根的路径上最多只有一条坏的边,现在以各个点为根分别求出修复边的方案数,其结果模1000000007. 不难联想到这题和H ...
- HDU 1452 (约数和+乘法逆元)
题目链接: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1452 题目大意:求2004^X所有约数和,结果mod 29. 解题思路: ①整数唯一分解定理: 一个 ...
- HDU 1576 (乘法逆元)
题目链接: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1576 题目大意:求(A/B)mod 9973.但是给出的A是mod形式n,n=A%9973. 解题思 ...
- 51Nod 1256 乘法逆元 Label:exgcd
1256 乘法逆元 基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 0 难度:基础题 给出2个数M和N(M < N),且M与N互质,找出一个数K满足0 < K < N且K ...
- hdu 2669 Romantic (乘法逆元)
Romantic Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Su ...
随机推荐
- 修改broadcom 4322无线网卡ID教程,不再显示第三方无线网卡
本帖最后由 hellokingabc 于 2016-1-11 03:07 编辑 黑苹果已经基本完美,但是无线网卡总是出现问题,经常断网,经过搜索,原因在于无线网卡在OSX系统下显示为第三方无线网卡,只 ...
- 转 Anaconda启动卡死的解决方案
https://blog.csdn.net/meng_zhi_xiang/article/details/83651676
- 【模拟】HHHOJ#251. 「NOIP模拟赛 伍」高精度
积累模拟经验 题目描述 维护一个二进制数,支持如下操作 "+" 该数加 11 "-" 该数减 11 "*" 该数乘 22 "\&q ...
- 转 消息队列之 RabbitMQ
转 https://www.jianshu.com/p/79ca08116d57 消息队列之 RabbitMQ 预流 2017.05.06 16:03* 字数 4884 阅读 80990评论 18喜欢 ...
- mysql的字符串连接符
以前用SQL Server 连接字符串是用“+”,现在数据库用mysql,写个累加两个字段值SQL语句居然不支持"+",郁闷了半天在网上查下,才知道mysql里的+是数字相加的操作 ...
- destoon 后台管理左侧新增菜单项
destoon 后台菜单设置在对应模块的admin/menu.inc.php 例如要在后台会员管理里增加会员承包和股东管理 $menu = array( array('添加会员', '?modulei ...
- LeetCode(283)Move Zeroes
题目 Given an array nums, write a function to move all 0's to the end of it while maintaining the rela ...
- nordic芯片开发——烧写方法记录
在开发nordic芯片的时候,分为存外设开发和结合softdevice开发,另外还有结合mbr的开发(这个暂时没有深究)在裸机开发的时候,sdk里面称为blank,把芯片的程序erase之后,直接下载 ...
- JAVA-基础(三)
Character 类型字符(Character)是围绕字符型(char)的一个简单的包装器.字符(Character)的构造函数如下:Character(char ch)这里ch指定了被创建的字符( ...
- MySQL数据库详解(一)执行SQL查询语句时,其底层到底经历了什么?
一条SQL查询语句是如何执行的? 前言 大家好,我是WZY,今天我们学习下MySQL的基础框架,看一件事千万不要直接陷入细节里,你应该先鸟瞰其全貌,这样能够帮助你从高维度理解问题.同样,对于MyS ...