[UOJ 275/BZOJ4737] 【清华集训2016】组合数问题 (LUCAS定理的运用+数位DP)
题面
传送门:UOJ
Solution
这题的数位DP好蛋疼啊qwq
好吧,我们说回正题。
首先,我们先回忆一下LUCAS定理:
\(C_n^m \equiv C_{n/p}^{m/p} \times C_{n\%p}^{m\%p} (\%p)\)
我们仔细观察这个定理,就可以发现一个事实:LUCAS定理本质上是在对n,m两个数做K进制下的数位分离
所以说,LUCAS定理我们可以这样表示:
\(C_n^m \equiv \prod C_{a_i}^{b_i}\)
(ai与bi为K进制拆分后的两个数的每一位数,若一个数的位数不足另一个数,则以前导零填充)
我们要判断一个\(C_n^m\)是否能被K整除,只需要保证其中一个\(C_{a_i}^{b_i}\)能被K整除(即同余K为零)就好。
又因为K为质数,且ai,bi均小于K,所以说我们要使得\(C_{a_i}^{b_i}\)为0,必须有\(b_i\)>\(a_i\)
.
.
所以说,问题就变为了对于有多少个\((i,j)\)使得\(j\)中某一位\(>i\)
这个新的问题显然可以用数位DP来解决。
在这里,我使用记忆化搜索来写(用记忆化可以减少讨论数)
考虑这样设状态:
设\(f[x][0/1][0/1][0/1][0/1][0/1]\)表示填到第\(x\)位,
i是否卡上界n,j是否卡上界m,j是否卡上界 \((j<i)\),上一位是否为前导零(这道题不需要,但是为了模板完整性。我还是写上去了),之前是否有某一位达成需求,之后可以达成的总共的可行方案数
转移非常好讨论,我们只需要注意一下j的上界是两个限制的最小值就好。
我是这样写转移的:
for(int i=0;i<=(limit1==true?l1[to]:K);i++)
{
int t_j=(limit2==true?l2[to]:K);
t_j=(limit3==true?min(i,t_j):t_j);
for(int j=0;j<=t_j;j++)
{
t_ans+=dfs(to+1,limit1==true and i==l1[to],limit2==true and j==l2[to],limit3==true and j==i,zero==true and i==0,OK==true or j>i);
t_ans%=poi;
}
}
这样子写,看起来时间复杂度是
\(O(T*n^2*2^5)\)
但是因为我们会少讨论很多没有意义的情况,所以说能跑得过去。
确切复杂度我不会算qwq
还请dalao们指点
Code
//BZOJ 4737: 组合数问题
//Jan,14th,2019
//LUCAS定理的运用+鬼畜数位DP
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
long long read()
{
long long x=0,f=1; char c=getchar();
while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
const int poi=1000000007;
const int N=70;
long long f[N][2][2][2][2][2];//到i位,底数卡不卡n,指数卡不卡m,指数卡不卡底数,zero,OK
int n,l1[N],l2[N],K;
long long dfs(int to,bool limit1,bool limit2,bool limit3,bool zero,bool OK)
{
if(f[to][limit1][limit2][limit3][zero][OK]>=0) return f[to][limit1][limit2][limit3][zero][OK];
long long t_ans=0;
if(to==n+1)
{
if(OK==true)
t_ans=1;
return f[to][limit1][limit2][limit3][zero][OK]=t_ans;
}
for(int i=0;i<=(limit1==true?l1[to]:K);i++)
{
int t_j=(limit2==true?l2[to]:K);
t_j=(limit3==true?min(i,t_j):t_j);
for(int j=0;j<=t_j;j++)
{
t_ans+=dfs(to+1,limit1==true and i==l1[to],limit2==true and j==l2[to],limit3==true and j==i,zero==true and i==0,OK==true or j>i);
t_ans%=poi;
}
}
return f[to][limit1][limit2][limit3][zero][OK]=t_ans;
}
int main()
{
int T=read();K=read();
for(;T>0;T--)
{
n=0;
long long num1=read(),num2=read();
num2=min(num1,num2);//防止m>n
while(num1!=0)
l1[++n]=num1%K,num1/=K;
for(int i=1;i<=n;i++)
l2[i]=num2%K,num2/=K;
reverse(l1+1,l1+1+n);
reverse(l2+1,l2+1+n);
memset(f,0x80,sizeof f);
K--;
dfs(1,true,true,true,true,false);
K++;
printf("%lld\n",f[1][true][true][true][true][false]);
}
return 0;
}
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