【算法】KMP算法

简介

KMP算法由 Knuth-Morris-Pratt 三位科学家提出，可用于在一个 文本串 中寻找某 模式串 存在的位置。

本算法可以有效降低在一个 文本串 中寻找某 模式串 过程的时间复杂度。（如果采取朴素的想法则复杂度是 \(O(MN)\) ）

这里朴素的想法指的是枚举 文本串 的起点，然后让 模式串 从第一位开始一个个地检查是否配对，如果不配对则继续枚举起点。

前置知识

真前缀

指字符串左部的任意子串（不包含自身），如 abcde 中的 a,ab,abc,abcd 都是真前缀但 abcde 不是。

真后缀

指字符串右部的任意子串（不包含自身），如 abcde 中的 e,de,cde,bcde 都是真后缀但 abcde 不是。

前缀函数

一个字符串中最长的、相等的真前缀与真后缀的长度， 如AABBAAA对应的前缀函数值是 \(2\) 。

原理

注意：在分析的时候，我们规定字符串的下标从 \(1\) 开始。

开始：

我们记扫描模式串的指针为j，而扫描文本串的指针为i，假设一开始i，j都在起点，然后让它们一直下去直到完全匹配或者失配，比如：

j
ABCD

i
ABCDEFG

然后

 j
ABCD

 i
ABCDEFG

最后在此完成了一次匹配，类似地如果ABCD改为ABCC则在此失配。

   j
ABCD

   i
ABCDEFG

i，j运作模式如上。

---

---

KMP算法就是，当模式串和文本串失配的时候，j指针从真后缀的末尾跳到真前缀的末尾，然后从真前缀后一位开始继续匹配。（从而起到减少配对次数，这便是KMP算法的核心原理）

结合例子解释：

模式串： \(AABBAAA\)

文本串： \(AABBAABBAAA\)

j指针在最后一个A处失配。

      j
AABBAAA
      i
AABBAABBAAA

因为此时 以j为尾的前缀 所对应的前缀函数值是 \(2\) ，所以 j指针 跳到这里：

 j
AABBAAA
      i
AABBAABBAAA

然后从下一位开始继续配对：

  j
AABBAAA
      i
AABBAABBAAA

最后

      j
AABBAAA
          i
AABBAABBAAA

可以看出，KMP能够有效减少配对次数。

实现

我们记模式串 为 p，文本串 为 s 。

从上面的模拟中，我们发现需要预处理出一个数组（记之为next[]），它储存模式串中前缀对应的前缀函数\(\pi()\)，如对于字符串ABCABC ：

\(\pi(0)=0\) （因为什么都没有）

\(\pi(1)=0\) （A甚至没有真前缀和真后缀）

\(\pi(2)=0\) （AB）

\(\pi(3)=0\) （ABC）

\(\pi(4)=1\) （ABCA）

\(\pi(5)=2\) （ABCAB）

\(\pi(6)=3\) （ABCABC）

同样地，我们发现如果用暴力朴素的想法来统计复杂度是 O(N^2) 不好，于是采用类似于上面的方法，只不过模式串配对的对象是自己罢了。

可以结合代码理解，并注意举例，尝试在纸上模拟这个过程。

for(int i=2,j=0;i<=lenp;i++){
        while(j && p[j+1]!=p[i]) j=next_[j]; // 如果j指向元素的下一个元素会和当前配对位置失配，则j跳回去
        if(p[j+1]==p[i]) j++; //如果能够配对上，j++
        next_[i]=j; //记录当前位置的前缀函数π
}

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e6+5;
char p[N],s[N];
int next_[N];

int main(){
    cin>>s+1>>p+1;

    int lenp=strlen(p+1),lens=strlen(s+1);
    // build next array
    for(int i=2,j=0;i<=lenp;i++){
        while(j && p[j+1]!=p[i]) j=next_[j]; // 如果j指向元素的下一个元素会和当前配对位置失配，则j跳回去
        if(p[j+1]==p[i]) j++; //如果能够配对上，j++
        next_[i]=j; //记录当前位置的前缀函数π
    }

    for(int i=1,j=0;i<=lens;i++){
        while(j && p[j+1]!=s[i]) j=next_[j];
        if(p[j+1]==s[i]) j++;

        // if match
        if(j==lenp){
            j=next_[j];
            cout<<i-lenp+1<<endl;
        }
    }

    for(int i=1;i<=lenp;i++) cout<<next_[i]<<' ';
    cout<<endl;

    return 0;
}

复杂度

\(O(N+M)\)