1、定理内容

Dedekind切割定理:设是实数集的一个切割,则或者有最大数,或者有最小数。

2、证明过程

设是中所有有理数所构成的集合,是中所有有理数所构成的集合

从而构成一个有理数集的切割

有三种情况:

(1)中有最大数,中无最小数

(2)中无最大数,中有最小数

(3)中无最大数,中无最小数

对于情况(1):

下证也是的最大数,而没有最小数

反证,假设不是的最大数,设是的最大数

由有理数的稠密性知,在中必存在有理数

由知,而,与是的最大数矛盾

从而是的最大数    //不是的最大数的反面为什么不考虑无最大数

对于情况(2):

类似可知没有最大数,的最小数为

对于情况(3):

切割确定无理数,,有

由于,从而要么,要么

若,下证是的最大数

反证,若不是的最大数,设的最大数是

在中存在有理数,由于,故

又因为,从而,矛盾

故是的最大数

类似的,若,则是的最小数

综上所述,若是实数集的一个切割,则或者有最大数,或者有最小数。  #

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