洛谷 P5470 - [NOI2019] 序列(反悔贪心)
好几天没写题解了,写篇题解意思一下(大雾
考虑反悔贪心,首先我们考虑取出 \(a,b\) 序列中最大的 \(k\) 个数,但这样并不一定满足交集 \(\ge L\) 的限制,因此我们需要调整,我们假设 \(L-\) \(a,b\) 序列中最大的 \(k\) 个数的交集为 \(L'\),如果 \(L'\le 0\) 那不用调整直接输出即可。否则我们考虑每次调整部分 \(a_i,b_i\) 的取值使得 \(a,b\) 的交集加 \(1\),不难发现每次调整可能有以下可能:
- 选择两个下标 \(x,y\),满足选择了 \(a_x\) 没选 \(b_x\),以及选择了 \(b_y\) 没选 \(a_y\),将 \(a_x\) 改为 \(a_y\),答案增加 \(a_y-a_x\)
- 选择两个下标 \(x,y\),满足选择了 \(b_x\) 没选 \(a_x\),以及选择了 \(a_y\) 没选 \(b_y\),将 \(b_x\) 改为 \(b_y\),答案增加 \(b_y-b_x\)
- 选择三个下标 \(x,y,z\),满足选择了 \(a_x\) 没选 \(b_x\),选择了 \(b_y\) 没选 \(a_y\),\(a_z,b_z\) 都没选,将 \(a_x\) 改为 \(a_z\),\(b_y\) 改为 \(a_z\),答案增加 \((a_z+b_z)-a_x-b_y\)
- 选择三个下标 \(x,y,z\),满足选择了 \(a_x\) 没选 \(b_x\),选择了 \(b_y\) 没选 \(a_y\),\(a_z,b_z\) 都被选择了,将 \(a_z\) 改为 \(a_y\),\(b_z\) 改为 \(b_x\),答案增加 \(a_y+b_x-(a_z+b_z)\)
思路理到这里,聪明的读者一定能够发现,接下来的步骤与此题第二个解法大同小异了,我们记 \(st_i\) 表示下标为 \(i\) 的位置被选择的情况,\(st_i=0\) 表示 \(a_i,b_i\) 都没选,\(st_i=1\) 表示 \(a_i\) 被选 \(b_i\) 没选,\(st_i=2\) 表示 \(b_i\) 被选 \(a_i\) 没选,\(st_i=3\) 表示 \(a_i,b_i\) 都被选。
那么考虑维护六个大根堆:
- \(q_1=\{a_i|st_i=2\}\)
- \(q_2=\{b_i|st_i=1\}\)
- \(q_3=\{-a_i|st_i=1\}\)
- \(q_4=\{-b_i|st_i=2\}\)
- \(q_5=\{a_i+b_i|st_i=0\}\)
- \(q_6=\{-a_i-b_i|st_i=3\}\)
对于情况 \(1\) 相当于是取出 \(q_1,q_3\) 的根节点,情况 \(2\) 相当于是取出 \(q_2,q_4\) 的根节点,情况 \(3\) 相当于是取出 \(q_3,q_4,q_5\) 的根节点,情况 \(4\) 相当于是取出 \(q_1,q_2,q_6\) 的根节点,然后 xjb 乱搞一下就行了(确信
时间复杂度线对。
感觉这个 D1T3 比 D1T2 简单,虽然我都不会做
const int MAXN=2e5;
int n,k,l,a[MAXN+5],b[MAXN+5],st[MAXN+5];
pii ap[MAXN+5],bp[MAXN+5];
priority_queue<pii> q1,q2,q3,q4,q5,q6;
/*
q1: maximum a[i] with st[i]=2
q2: maximum b[i] with st[i]=1
q3: maximum -a[i] with st[i]=1
q4: maximum -b[i] with st[i]=2
q5: maximum a[i]+b[i] with st[i]=0
q6: maximum -a[i]-b[i] with st[i]=3
*/
void solve(){
scanf("%d%d%d",&n,&k,&l);memset(st,0,sizeof(st));
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),ap[i]=mp(a[i],i);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]),bp[i]=mp(b[i],i);
sort(ap+1,ap+n+1);reverse(ap+1,ap+n+1);
sort(bp+1,bp+n+1);reverse(bp+1,bp+n+1);ll ans=0;
for(int i=1;i<=k;i++) st[ap[i].se]|=1,ans+=ap[i].fi;
for(int i=1;i<=k;i++) st[bp[i].se]|=2,ans+=bp[i].fi;
for(int i=1;i<=n;i++) l-=(st[i]==3);chkmax(l,0);
q1.push(mp(-2e9,0));q2.push(mp(-2e9,0));q3.push(mp(-2e9,0));
q4.push(mp(-2e9,0));q5.push(mp(-2e9,0));q6.push(mp(-2e9,0));
for(int i=1;i<=n;i++){
if(st[i]==2){
q1.push(mp(a[i],i));
q4.push(mp(-b[i],i));
} if(st[i]==1){
q2.push(mp(b[i],i));
q3.push(mp(-a[i],i));
} if(!st[i]){
q5.push(mp(a[i]+b[i],i));
} if(st[i]==3){
q6.push(mp(-a[i]-b[i],i));
}
}
while(l--){
#define qpop(a,b)\
while(!q##a.empty()){\
int x=q##a.top().se;\
if(!x||st[x]==b) break;\
q##a.pop();\
}
qpop(1,2);qpop(2,1);qpop(3,1);
qpop(4,2);qpop(5,0);qpop(6,3);
ll res1=0ll+q1.top().fi+q3.top().fi;
ll res2=0ll+q2.top().fi+q4.top().fi;
ll res3=0ll+q3.top().fi+q4.top().fi+q5.top().fi;
ll res4=0ll+q1.top().fi+q2.top().fi+q6.top().fi;
ll mx=max(max(res1,res2),max(res3,res4));ans+=mx;
if(res1==mx){
int x=q1.top().se,y=q3.top().se;
q1.pop();q3.pop();st[x]=3;st[y]=0;
q5.push(mp(a[y]+b[y],y));
q6.push(mp(-a[x]-b[x],x));
} else if(res2==mx){
int x=q2.top().se,y=q4.top().se;
q2.pop();q4.pop();st[x]=3;st[y]=0;
q5.push(mp(a[y]+b[y],y));
q6.push(mp(-a[x]-b[x],x));
} else if(res3==mx){
int x=q3.top().se,y=q4.top().se,z=q5.top().se;
q3.pop();q4.pop();q5.pop();st[x]=st[y]=0;st[z]=3;
q5.push(mp(a[x]+b[x],x));
q5.push(mp(a[y]+b[y],y));
q6.push(mp(-a[z]-b[z],z));
} else{
int x=q1.top().se,y=q2.top().se,z=q6.top().se;
q1.pop();q2.pop();q6.pop();st[x]=st[y]=3;st[z]=0;
q6.push(mp(-a[x]-b[x],x));
q6.push(mp(-a[y]-b[y],y));
q5.push(mp(a[z]+b[z],z));
}
} printf("%lld\n",ans);
#define clr(x) while(!q##x.empty()) q##x.pop();
clr(1);clr(2);clr(3);clr(4);clr(5);clr(6);
}
int main(){
freopen("sequence.in","r",stdin);
freopen("sequence.out","w",stdout);
int qu;scanf("%d",&qu);
while(qu--) solve();
return 0;
}
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