要求

  • 给出一个正整数n,寻找最少的完全平方数,使他们的和为n

示例

  • n = 12
  • 12 = 4 + 4 + 4
  • 输出:3

边界

  • 是否可能无解

思路

  • 贪心:12=9+1+1+1,无法得到最优解
  • 图论:从n到0,每个数字表示一个节点,如果两个数字x到y相差一个完全平方数,则连接一条边
  • 问题转化为无权图中从n到0的最短路径

  

实现

  • 队列中每个元素是一个pair对,保存具体数字和经历了几段路径走到这个数字
 1 class Solution {
2 public:
3 int numSquares(int n) {
4
5 assert( n > 0 );
6
7 queue< pair<int,int> > q;
8 q.push( make_pair( n , 0 ) );
9
10 while( !q.empty() ){
11 int num = q.front().first;
12 int step = q.front().second;
13 q.pop();
14
15 if( num == 0 )
16 return step;
17
18 for( int i = 1 ; num - i*i >=0 ; i ++ )
19 q.push( make_pair( num - i * i , step + 1 ) );
20 }
21
22 throw invalid_argument("No Solution");
23 }
24 };
  • 有些节点被重复推入队列,n足够大时存在性能问题
  • 不同于树,图中每个节点都有多种路径到达

优化

  • 用一个辅助向量 visited 记录节点是否推入过队列
  • 用变量记录num-i*i,减少计算
  • 推入0时,直接返回结果,而不需要在循环处先取出
 1 class Solution {
2 public:
3 int numSquares(int n) {
4
5 assert( n > 0 );
6
7 queue< pair<int,int> > q;
8 q.push( make_pair( n , 0 ) );
9
10 vector<bool> visited(n+1, false);
11 visited[n] = true;
12
13 while( !q.empty() ){
14 int num = q.front().first;
15 int step = q.front().second;
16 q.pop();
17
18 for( int i = 1 ; ; i ++ ){
19 int a = num - i*i;
20 if( a < 0 )
21 break;
22 if( a == 0)
23 return step + 1;
24 if( ! visited[a] ){
25 q.push( make_pair( a , step + 1 ) );
26 visited[a] = true;
27 }
28 }
29 }
30 throw invalid_argument("No Solution");
31 }
32 };

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