Loj#6053-简单的函数【Min25筛】
正题
题目大意
定义一个积性函数\(f(p^c)=p\ xor\ c\),求\(\sum_{i=1}^nf(i)\)
解题思路
异或这个东西不太好搞,要考虑怎么求出\(g\)数组。
当\(p\)为质数时\(f(p)=p-1\),所以我们让\(g(n)=\sum_{i=1}^n[i\in Pri](i-1)\)就好了。
然后因为\(i-1\)不是完全积性函数,所以拆成\(i\)和\(1\)分开来就好了。
然后因为\(f(2)=3\),所以答案会少\(2\),加回去就好了。
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10,P=1e9+7;
ll n,T,cnt,tot,w[N],pri[N],sp[N],g1[N],g2[N],ind1[N],ind2[N];
bool v[N];
void init(ll n){
for(ll i=2;i<=n;i++){
if(!v[i]){
pri[++cnt]=i;
sp[cnt]=sp[cnt-1]+i;
}
for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++){
v[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0)break;
}
}
return;
}
ll S(ll x,ll y){
if(pri[y]>=x)return 0;
ll pos=(x>T)?ind2[n/x]:ind1[x];
ll ans=((g2[pos]-g1[pos])-(sp[y]-y)+P)%P;
if(y==0)ans+=2;
for(ll k=y+1;k<=cnt&&pri[k]*pri[k]<=x;k++)
for(ll e=1,p=pri[k];p<=x;p=p*pri[k],e++)
(ans+=(pri[k]^e)*(S(x/p,k)+(e!=1))%P)%=P;
return ans;
}
signed main()
{
scanf("%lld",&n);
if(n==1)return puts("1")&0;
T=sqrt(n);init(T);
for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){
ll x=n/l;r=n/(n/l);
w[++tot]=x;x%=P;
g1[tot]=x-1;
g2[tot]=x*(x+1)/2%P-1;
if(n/l<=T)ind1[n/l]=tot;
else ind2[n/(n/l)]=tot;
}
for(ll i=1;i<=cnt;i++)
for(ll j=1;j<=tot&&pri[i]*pri[i]<=w[j];j++){
ll k=w[j]/pri[i];k=(k>T)?ind2[n/k]:ind1[k];
(g2[j]+=P-(g2[k]-sp[i-1])*pri[i]%P)%=P;
(g1[j]+=P-(g1[k]-i+1)%P)%=P;
}
printf("%lld\n",S(n,0)+1);
return 0;
}
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