ZJUT 1423 地下迷宫(期望DP&高斯消元)

地下迷宫
Time Limit:1000MS  Memory Limit:32768K

Description:

由于山体滑坡，DK被困在了地下蜘蛛王国迷宫。为了抢在DH之前来到TFT，DK必须尽快走出此迷宫。此迷宫仅有一个出口，而由于大BOSS的力量减弱影响到了DK，使DK的记忆力严重下降，他甚至无法记得他上一步做了什么。所以他只能每次等概率随机的选取一个方向走。当然他不会选取周围有障碍的地方走。如DK周围只有两处空地，则每个都有1/2的概率。现在要求他平均要走多少步可以走出此迷宫。

Input:

先是一行两个整数N, M(1<=N, M<=10)表示迷宫为N*M大小，然后是N行，每行M个字符，'.'表示是空地，'E’表示出口，'D’表示DK，'X’表示障碍。

Output:

如果DK无法走出或要超过1000000步才能走出，输出tragedy!，否则输出一个实数表示平均情况下DK要走几步可以走出迷宫，四舍五入到小数点后两位。

Sample Input:

1 2
ED
3 3
D.X
.X.
X.E

Sample Output:

1.00
tragedy!

Source:

DK

思路：

首先对地图节点重新标号。假设E[i]表示DK从i点开始走出迷宫的期望值。

那么E[i]=(E[a1]+E[a2]+E[a3]+...+E[an])/n+1，其中a1...an是i的相邻节点。
那么对于每一个DK可达的节点来说，都可以为它建立这样的一个方程。现
在假设DK可达的点有N个，那么我们最终将会得到N元一次方程组。方程成

环所以利用高斯消元解出E[No[S]]。其中S是DK的起点，No[S]是重标号后的

起点这里要重点注意的是，我们联立方程的时候，一定要注意DK可达这个条

件，不然就会导致无解的情况。貌似zjutoj崩了。不能交题了。代码仅供参考。

详细见代码：

#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn=15;
const double eps=1e-9;
char maze[maxn][maxn];//记录地图
int pp[maxn][maxn];//重编号
int dx[4]={0,0,-1,1};
int dy[4]={1,-1,0,0};
double mat[maxn][maxn];//记录矩阵
int n,m,cnt,ptr;
struct node
{
    int x,y;
    node(int xx,int yy)
    {
        x=xx;
        y=yy;
    }
    node(){}
} st,ed,t;
queue<node> q;
 
bool isok(int x,int y)//判断是否越界
{
    return x>=0&&x<n&&y>=0&&y>=0&&y<m&&maze[x][y]!='X';
}
void bfs()//宽搜。记录可到达点
{
    int nx,ny,i;
    while(!q.empty())
        q.pop();
    cnt=0;
    nx=st.x;
    ny=st.y;
    pp[nx][ny]=cnt++;
    q.push(st);
    while(!q.empty())
    {
        t=q.front();
        q.pop();
        for(i=0;i<4;i++)
        {
            nx=t.x+dx[i];
            ny=t.y+dy[i];
            if(isok(nx,ny)&&pp[nx][ny]==-1)
            {
                q.push(node(nx,ny));
                pp[nx][ny]=cnt++;//对可到达点编号
            }
        }
    }
}
bool guass()//高斯消元
{
    int row,i,j,id;
    double maxx,var;
    for(row=0;row<cnt;row++)//遍历行。重点在mat[row][row]先找此处最大系数。然后把以下方程的对应未知数消去
    {
        maxx=fabs(mat[row][row]);
        id=row;//id记录位置
        for(i=row+1;i<cnt;i++)
        {
            if(fabs(mat[i][row])>maxx)
            {
                maxx=fabs(mat[i][row]);//注意是绝对值大
                id=i;
            }
        }
        if(maxx<eps)
            return false;
        if(id!=row)//如果就是当前处理行就不用交换
        {
            for(i=row;i<=cnt;i++)//交换最大行和当前行
                swap(mat[row][i],mat[id][i]);
        }
        for(i=row+1;i<cnt;i++)//遍历行。所以<cnt.把当前处理行以下的mat[row][row]变量消去。
        {
            if(fabs(mat[i][row])<eps)//本来就为0就不用处理了
                continue;
            var=mat[i][row]/mat[row][row];
            for(j=row;j<=cnt;j++)//包括扩展矩阵所以c<=cnt。
                mat[i][j]-=mat[row][j]*var;
        }
    }
    for(i=cnt-1;i>=0;i--)//从最后一个系数开始
    {
        for(j=i+1;j<cnt;j++)
            mat[i][cnt]-=mat[i][j]*mat[j][j];
        mat[i][i]=mat[i][cnt]/mat[i][i];//现在系数矩阵的对角线用于记录答案。
    }
    return true;
}
int main()
{
    int i,j,k,nx,ny,p;
 
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%s",maze[i]);
            for(j=0;j<m;j++)
            {
                if(maze[i][j]=='D')
                    st.x=i,st.y=j;
                else if(maze[i][j]=='E')
                    ed.x=i,ed.y=j;
            }
        }
        memset(pp,-1,sizeof pp);
        bfs();
        if(pp[ed.x][ed.y]==-1)
        {
            printf("tragedy!\n");
            continue;
        }
        memset(mat,0,sizeof mat);
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            for(j=0;j<m;j++)
            {
                if(pp[i][j]!=-1)//以每个可到达点建立方程组
                {
                    ptr=0;
                    p=pp[i][j];
                    for(k=0;k<4;k++)
                    {
                        nx=i+dx[k];
                        ny=j+dy[k];
                        if(isok(nx,ny))
                        {
                            mat[p][pp[nx][ny]]=-1;
                            ptr++;
                        }
                    }
                    mat[p][p]=ptr;
                    mat[p][cnt]=ptr;
                }
            }
        }
        p=pp[ed.x][ed.y];
        memset(mat[p],0,sizeof mat[p]);
        mat[p][p]=1;//在终点步数的期望为0.
        if(guass())
        {
            p=pp[st.x][st.y];
            if(mat[p][p]<=1000000)
                printf("%.2lf\n",mat[p][p]);
            else
                printf("tragedy!\n");
        }
        else
            printf("tragedy!\n");
    }
    return 0;
}