声明：感谢修改这篇博客的dsr

Day 1

先说一下上午的听课吧，哎~，简直了，简直(⊙o⊙)…咋说呢，引人入胜？？？No! 是昏昏欲睡好吧。。。一点听课欲都没有（强撑....），一上午停下来简直怀疑人生。下午上机，啥？？上机居然断网！！！搞啥子嘛，，，于是整理上午的笔记，╮(╯▽╰)╭内心崩溃。

一、同余

知识点：

同余，如果a和b对m取模得到的结果相同，那么说a和b在模m意义下相等，或者说二者同余，记作a≡b (mod m)（其实中间应该是三条杠，但是打不出来），并且就划分为同一类。显然模m意义下一共有m类数字，以0,1,...,m-1为代表元素。注意负数也是可以取模的，例如-1 mod 3 = 2。如果a=km+r(0<=r<m)，那么a=r(mod m)，这称作”带余除法”。特殊的，如果r=0，那么m是a的因数，a是m的倍数，称为m整除a，记作m|a。

 

代码实现：

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<algorithm>

 #include<cmath>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 ll a,b,x,y,z;

 inline ll read() {

     ll n=,f=;char ch=getchar();

     while (ch<'' || ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}

     while (ch<='' && ch>='') {n=(n<<)+(n<<)+ch-'';ch=getchar();}

     return n*f;

 }

 inline void gcd(ll a,ll b) {

     if(!b) {

         x=,y=;

         return ;

     }

     gcd(b,a%b);

     z=x,x=y;

     y=z-a/b*y;

 }

 int main() {

     a=read(),b=read();

     gcd(a,b);

     printf("%lld\n",(x+b)%b);

     return ;

 }

代码实现

二、因数

知识点：

刚才说了，如果a|b，也就是a整除b，那么b是a的倍数，a是b的因数。显然如果a|b,a|c，那么a|(b±c)，a|(bx+cy)，即a整除b和c的线性组合最大公因数gcd(a,b)，或者简写成(a,b)，定义为，最大的d，满足d|a且d|b。显然d|(a,b)等价于，d|a且d|b另一个很显然的是，(a,b)=(a+b,b)=(a-b,b)=(a mod b,b)特别的，如果(a,b)=1，那么称作a和b互质最小公倍数[a,b]同理。二者关系：[a,b]=ab/(a,b)，注意只对两个数字恒有效。

三、欧拉定理

四、逆元

Exgcd 求逆元 代码实现：

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<cmath>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 ll a,b,x,y,z,n,mod;

 inline ll read() {

     ll n=,f=;char ch=getchar();

     while (ch<'' || ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}

     while (ch<='' && ch>='') {n=(n<<)+(n<<)+ch-'';ch=getchar();}

     return n*f;

 }

 inline void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {

     if(!b) {

         x=,y=;

         return ;

     }

     exgcd(b,a%b,x,y);

     z=x,x=y;

     y=z-a/b*y;

 }

 int main() {

     n=read(),mod=read();

     exgcd(n,mod,x,y);

     x=(x%mod+mod)%mod;

     printf("%lld\n",x);

     return ;

 }

代码实现

线性求逆元 代码实现：

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<algorithm>

 #include<cmath>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 const int N=3e6+;

 inline int read() {

     int n=,f=;char ch=getchar();

     while (ch<'' || ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}

     while (ch<='' && ch>='') {n=(n<<)+(n<<)+ch-'';ch=getchar();}

     return n*f;

 }

 int n,p,a[N];

 int main(){

     n=read(),p=read();

        a[]=a[]=;

     for(int i=;i<=n;++i) a[i]=a[i]-(ll)(p/i)*a[p%i]%p;

     for(int i=;i<=n;++i) {

         if(a[i]<) a[i]+=p;

         printf("%d\n",a[i]);

     }

     return ;

 }

代码实现

五、扩展欧拉定理

 

六、卢卡斯定理

代码实现：

 #include<iostream>

 #include<cstring>

 #include<cstdio>

 #include<cmath>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 const int N=1e5+;

 int n,m,p,k;

 ll a[N],b[N];

 inline int read() {

     int n=,f=;char ch=getchar();

     while (ch<'' || ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}

     while (ch<='' && ch>='') {n=(n<<)+(n<<)+ch-'';ch=getchar();}

     return n*f;

 }

 inline ll lucas(int x,int y) {

     if(x<y) return ;

     else if(x<p) return b[x]*a[y]*a[x-y]%p;

     else return lucas(x/p,y/p)*lucas(x%p,y%p)%p;

 }

 int main() {

     k=read();

     while (k--) {

         n=read(),m=read(),p=read();

         a[]=a[]=b[]=b[]=;

         for(int i=;i<=n+m;++i) b[i]=b[i-]*i%p;

         for(int i=;i<=n+m;++i) a[i]=(p-p/i)*a[p%i]%p;

         for(int i=;i<=n+m;++i) a[i]=a[i-]*a[i]%p;

         printf("%lld\n",lucas(n+m,m));

     }

     return ;

 }

代码实现

七、GCD/EXGCD

代码实现：

 inline void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {

     if(!b) {

         x=,y=;

         return ;

     }

     exgcd(b,a%b,x,y);

     z=x,x=y;

     y=z-a/b*y;

 }

主要代码

青蛙的约会：

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<algorithm>

 #include<cstring>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 const int N=;

 ll x,y,m,n,l,a,b,js,mod;

 inline ll read() {

     ll n=,f=;char ch=getchar();

     while (ch<''||ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}

     while (ch>=''&&ch<='') {n=n*+ch-'';ch=getchar();}

     return n*f;

 }

 inline ll gcd(ll a,ll b) {

     if(b) return gcd(b,a%b);

     else return a;

 }

 inline void IU(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {

     if(!b) {

         x=,y=;

         return ;

     }

     IU(b,a%b,y,x);

     y-=a/b*x;

 }

 inline void pd() {

     if((b-a)%js) printf("Impossible\n");

     else {

         x=(x*((b-a)/js)%mod+mod)%mod;

         printf("%lld\n",x);

     }

 }

 int main() {

     a=read(),b=read(),m=read(),n=read(),l=read();

     js=gcd(m-n,l);

     mod=abs(l/js);

     IU(m-n,l,x,y);

     pd();

     return ;

 }

代码实现

八、关于二元一次不定方程

知识点（Zz..摘自度娘）：

使二元一次方程两边相等的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.

对二元一次方程的解的理解应注意以下几点：

①一般地，一个二元一次方程的解有无数个，且每一个解都是指一对数值，而不是指单独的一个未知数的值；

②二元一次方程的一个解是指使方程左右两边相等的一对未知数的值；反过来，如果一组数值能使二元一次方程左右两边相等，那么这一组数值就是方程的解；

③在求二元一次方程的解时，通常的做法是用一个未知数把另一个未知数表示出来，然后给定这个未知数一个值，相应地得到另一个未知数的值，这样可求得二元一次方程的一个解.

折叠注意点:

（1）二元一次方程组：由两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.

（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

对二元一次方程组的理解应注意：

①方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起.

②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.

九、CRT

知识点：

定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。

定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。

 

代码实现：

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<algorithm>

 #include<cmath>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 ll m[],a[];

 int n;

 inline ll read() {

     ll n=,f=;char ch=getchar();

     while (ch<'' || ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}

     while (ch<='' && ch>='') {n=(n<<)+(n<<)+ch-'';ch=getchar();}

     return n*f;

 }

 inline int fread() {

     int n=,f=;char ch=getchar();

     while (ch<'' || ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}

     while (ch<='' && ch>='') {n=(n<<)+(n<<)+ch-'';ch=getchar();}

     return n*f;

 }

 inline void gcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y) {

     if(!b){

         d=a;

         x=,y=;

     } else{

         gcd(b,a%b,d,y,x);

         y-=(a/b)*x;

     }

 }

 inline ll work_(int n,ll *m,ll *a) {

     ll p=,d,y,x=;

     for(int i=;i<n;++i) p*=m[i];

     for(int i=;i<n;++i){

         ll w=p/m[i];

         gcd(m[i],w,d,d,y);

         x=(x+y*w*a[i])%p;

     }

     return (x+p)%p;

 }

 int main() {

     n=fread();

     for(int i=;i<n;++i) m[i]=read(),a[i]=read();

     printf("%lld",work_(n,m,a));

 }

代码实现

十、扩展欧几里得

 

十一、线性筛

知识点：

可以在O(n)时间内筛出1~n的所有质数。如果F(n)是个积性函数，根据定义我们只要能够低于O(lgn)的知道每个F(p^c)的值，我们就能在O(n)时间内求出F(1)~F(n)。具体做法是这样的，每次枚举一个数字i，枚举所有已经筛出来的1~i中的质数k，那么x=ik不是质数，并且k是x的最小质因子。如果i%k==0，就break掉k的循环。可以证明每个数字都只会被其最小的质因子筛去，同时利用这个性质可以顺便筛出一些积性函数。这样你可以维护每个数字的最小质因子lp[n]，最小质因子对应的那个若干次方lpc[n]，这样对于积性函数每次只要计算满足lpc[n]=n的那些F[n]，然后用积性函数的性质就可以维护1~n的F。

代码实现：

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 using namespace std;

 const int N=;

 int n,m,x;

 bool vis[N]={,};

 int a[N];

 inline int read() {

     int n=,f=;char ch=getchar();

     while (ch<'' || ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}

     while (ch<='' && ch>='') {n=(n<<)+(n<<)+ch-'';ch=getchar();}

     return n*f;

 }

 //

 inline void ss(int n,int m) {

     for(int i=;i*i<=n;++i)

         if(!vis[i])

             for(int j=i*i;j<=n;j+=i) vis[j]=true;

     while(m--) {

         x=read();

         if(vis[x]) printf("No\n");

         else printf("Yes\n");

     }

     return;

 }

 // 2

 inline void IU(int n,int m) {

     int js=;

     for(int i=;i<=n;++i) {

         if(!vis[i]) a[++js]=i;

         for(int j=;j<=js&&i*a[j]<=n;++j) {

             vis[i*a[j]]=true;

             if(i%a[j]==) break;

         }

     }

     while(m--) {

         x=read();

         if(vis[x]) printf("No\n");

         else printf("Yes\n");

     }

 }

 int main() {

     n=read(),m=read();

     //ss(n,m);

     IU(n,m);

     return ;

 }

代码实现

十二、BSGS

知识点：

bsgs算法，又称大小步算法（某大神称拔山盖世算法）或北上广深算法。

主要用来解决   A^x=B(mod C)(C是质数)，都是整数，已知A、B、C求x。

代码实现（poj 2417）：

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<cmath>

 #include<algorithm>

 #include<map>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 map<ll,int> q;

 ll p,m,n,a,b,z,ans,t,bz;

 inline ll fpow(ll x) {

     ll s=,res=a;

     while (x>) {

         if(x&) s=(s*res)%p;

         x=x>>;

         res=(res*res)%p;

      }

      return s;

 }

 int main() {

     while (scanf("%lld%lld%lld",&p,&a,&b)!=EOF) {

         if(a%p==) {

             printf("no solution\n");

             continue;

         }

         q.clear();

         m=ceil(sqrt(p));

         bz=,z=b%p,q[z]=;

         for(int i=;i<=m;++i) z=(z*a)%p,q[z]=i;

         t=fpow(m);

         z=;

         for(int i=;i<=m;++i) {

             z=(z*t)%p;

             if(q[z]) {

                 bz=;

                 ans=i*m-q[z];

                 printf("%lld\n",(ans%p+p)%p);

                 break;

             }

         }

         if(!bz) printf("no solution\n");

     }

     return ;

 }

代码实现

十三、莫比乌斯反演

知识点：（摘自度娘~~）

数论函数，就是正整数映射到非负整数的函数。积性函数，如果一个数论函数f满足对于任意(x,y)=1，有f(xy)=f(x)f(y)，那么称f是积性函数。显只要知道了所有的f(p^c)就可以知道所有的f(n)完全积性函数，如果一个数论函数满足对于任意x和y，都有f(xy)=f(x)f(y)，那么称f是完全积性函数

性质：

　　性质一（莫比乌斯反演公式）： 

　　性质二：μ(n)是积性函数

　　性质三：设f是算术函数，它的和函数 

　　　　　　 是积性函数，那么 f 也是积性函数。

 

 莫比乌斯反演定理：

设f(n) 和g(n) 是定义在正整数集合上的两个函数,定义如下。

　　　　　　 

　　　　　　

则  

证明：（摘自度娘~）

充分性证明：

　　　　　　　　

　　　　　　　　

　　　　　　　　

　　　　　　　　

考虑到：

　　　　　　

因此

　　　　　　　 

必要性证明：

　　　　　　　 

考虑到：

　　　　　　    

因此
　　　　　　　　

证明2：

例题：

问题描述

给定5个整数:a, b, c, d, k，你要在a中找到x。在c b,y…即GCD(x, y) = k, GCD(x, y)表示x和y的最大公约数，由于选项的数量可能很大，所以只需要输出不同的数对的总数。请注意，(x=5, y=7)和(x=7, y=5)被认为是相同的。

输入

输入由几个测试用例组成。输入的第一行是案例的数量。不超过3000例。

每一种情况包含五个整数:a、b、c、d、k、0 < a <= b <= 100,000, 0 < c <= d <=
100,000, 0 <= k <= 100,000，如上所述。

输出

对于每个测试用例，打印选项的数量。使用示例中的格式。

样例输入

2

1 3 1 5 1。

1 11014 1 14409 9

样例输出

案例1:9

案例2:736427

代码实现：

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<cmath>

 #include<algorithm>

 #include<map>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 const int N=1e5+;

 int v[N],a[N],b[N];

 int n,m,js,jc,x,y,z,k;

 ll res,ans;

 inline int read() {

     int n=,f=;char ch=getchar();

     while (ch<'' || ch>'') {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}

     while (ch<='' && ch>='') {n=(n<<)+(n<<)+ch-'';ch=getchar();}

     return n*f;

 }

 int main() {

     b[]=;

     for(int i=;i<=;++i) {

         if(!v[i]) a[++js]=i,b[i]=-;

         for(int j=;j<=js;++j) {

             int k=a[j]*i;

             if(k>) break;

             v[k]=;

             if(i%a[j]==) {

                 b[k]=;

                 break;

             } else b[k]=-b[i];

         }

     }

     k=read();

     while(k--) {

         ++jc;

         res=ans=;

         n=read(),m=read(),x=read(),y=read(),z=read();

         if(!z) {

             printf("Case %d: 0\n",jc);

             continue;

         }

         m/=z;y/=z;

         if(m>y) swap(m,y);

         for(int i=;i<=m;++i) res+=(ll)b[i]*(m/i)*(y/i);

         for(int i=;i<=m;++i) ans+=(ll)b[i]*(m/i)*(m/i);

         printf("Case %d: %lld\n",jc,res-ans/);

     }

     return ;

 }

代码实现

十四、狄利克雷卷积

十五、数论分块

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