【洛谷】P4167 [Violet]樱花
题面
分析
人生第一次切数学题,我们先把方程写出来
$$\frac {1}{x}+\frac {1}{y}=\frac {1}{n!}$$
现在我们知道的条件是x,y都是正整数(废话 所以我们考虑单独通过式子的变换将x,y表示出来,表示出来的式子算出来也一定是个整数
$$\frac {1}{x}+\frac {1}{y}=\frac {1}{n!}$$
$$\frac {1}{x}=\frac {1}{n!}-\frac{1}{y}$$
$$\frac {1}{x}=\frac {y-n!}{n!\times y}$$
$$x=\frac {n!\times y}{y-n!}$$
那么$\frac {n!\times y}{y-n!}$一定是一个整数
分母不太好看,不利于观察,所以假设$a=y-n!$,那么$y=a+n!$
那么原方程可以化简为
$$x=\frac {n!\times (a+n!)}{a}=\frac {n!\times a+n!\times n!}{a}=n!+\frac {n!\times n!}{a}$$
所以,如果$a$是$n!\times n!$的约数,根据$y=a+n!$与$x=n!+\frac {n!\times n!}{a}$可以知道x,y都是正整数
所以$n!\times n!$有多少个约数就有多少组解,直接分解质因数然后乘法原理计算就好了
Code
#include<cstdio>
int n,p[],unp[],mn[],mp[];
void prework()
{
unp[]=;
for(int i=;i<=;i++)
{
if(!unp[i])p[++p[]]=i,mn[i]=p[];
for(int j=;1ll*p[j]*i<=;j++)
{
unp[p[j]*i]=;mn[p[j]*i]=j;
if(i%p[j]==)break;
}
}
}
int main()
{
prework();scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++)
{
int x=i;
while(x>)mp[p[mn[x]]]++,x/=p[mn[x]];
}
int ans=;
for(int i=;i<=n;i++)ans=1ll*ans*(mp[i]*+)%;
printf("%d\n",ans);
}
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