Luogu P1373 小a和uim之大逃离【dp】By cellur925

题目传送门

$50pts$：容易设计出状态$f[i][j][l][r][st]$表示当前的这个人在（$i$,$j$），小a和uim魔瓶中的含量分别为$l$,$r$，当$st=0$表明现在是小a在吃，当$st=1$表明现在是uim吃（方案数）。注意赋初值为$f[i][j][mapp[i][j]][0][0]=1$。因为是从小a开始吃的。转移方程比较显然&麻烦，就写在代码里了。

但是还是有一些坑点的。比如模数是$k+1$，用刷表法（从当前状态推到之后状态）来防止出现负数。还和学长博客学到了一个神奇的方法：

void zy(int &x,int &y)
{
    x=(x+y)%moder;
}

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>

 using namespace std;
 const int moder=1e9+;

 int n,m,k,ans;
 int mapp[][],f[][][][][];

 void zy(int &x,int &y)
 {
     x=(x+y)%moder;
 }

 int main()
 {
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
     k++;
     for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=;j<=m;j++)
             scanf("%d",&mapp[i][j]);
     for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=;j<=m;j++)
             f[i][j][mapp[i][j]][][]=;
     for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=;j<=m;j++)
             for(int l=;l<=k-;l++)
                 for(int r=;r<=k-;r++)
                 {
                     zy(f[i+][j][(l+mapp[i+][j])%k][r][],f[i][j][l][r][]);
                     zy(f[i][j+][(l+mapp[i][j+])%k][r][],f[i][j][l][r][]);
                     zy(f[i+][j][l][(r+mapp[i+][j])%k][],f[i][j][l][r][]);
                     zy(f[i][j+][l][(r+mapp[i][j+])%k][],f[i][j][l][r][]);
                     if(l==r) (ans+=f[i][j][l][r][])%=moder;
                 }
     printf("%d",ans);
     return ;
 }

50 pts

$100pts$：上面那个算法的复杂度是$O(n*m*k*k)$，复杂度显然会爆炸。考虑对dp进行优化，有优化状态和优化转移两种方法。状态貌似不能再优化了。

学长：那么这题的转移方程没有最值，没有单调性，那么我们只能优化状态。

考虑设计这样一个状态：$f[i][j][od][st]$表示当前的这个人在（$i$,$j$），小a和uim的魔瓶内含量差为$od$的方案数。与之前有相似的转移方程及初值。这样我们的复杂度就是$O(n*m*k)$，可以过。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>

 using namespace std;
 const int moder=1e9+;

 int n,m,k,ans;
 int mapp[][],f[][][][];

 void zy(int &x,int &y)
 {
     x=(x+y)%moder;
 }

 int main()
 {
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
     k++;
     for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=;j<=m;j++)
             scanf("%d",&mapp[i][j]);
     for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=;j<=m;j++)
             f[i][j][mapp[i][j]][]=;
     for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=;j<=m;j++)
             for(int od=;od<=k-;od++)
             {
                 zy(f[i+][j][(od+mapp[i+][j]+k)%k][],f[i][j][od][]);
                 zy(f[i][j+][(od+mapp[i][j+]+k)%k][],f[i][j][od][]);
                 zy(f[i+][j][(od-mapp[i+][j]+k)%k][],f[i][j][od][]);
                 zy(f[i][j+][(od-mapp[i][j+]+k)%k][],f[i][j][od][]);
                 if(od==) (ans+=f[i][j][od][])%=moder;
             }
     printf("%d",ans);
     return ;
 }

AC