BZOJ1925 [Sdoi2010]地精部落【dp】

题目

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正整数。如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足这个条件的整座山脉才可能有地精居住。现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它除以P的余数感兴趣。

输入格式

仅含一行，两个正整数 N, P。

输出格式

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余之后的结果。

输入样例

4 7

输出样例

提示

对于 20%的数据，满足 N≤10；

对于 40%的数据，满足 N≤18；

对于 70%的数据，满足 N≤550；

对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤109

题解

小程序，大思维

这是一道思维量挺大的题目

考虑dp

我们要唯一地确定一个状态，而由数据来看应该是一个二维状态

我们先研究一下这个波动数列的性质：

可以归纳出一下几点：

①交换i和i - 1的位置，仍为波动数列。也就是说，除非i和i - 1相邻，i和i - 1的剩余方案一一对应

②将序列的所有数取补【即$i$变为$n + 1 - i$】，仍为波动数列

由性质②，我们可以只求出开头为峰的方案数，乘2就是所有方案数

由此我们设$f[i][j]$表示前$i$个整数的序列以$j$为第一个元素且为山峰的方案数

①如果$j$和$j - 1$不相邻，由性质①，$f[i][j]+=f[i][j - 1]$

②如果$j$和$j - 1$相邻，那么就转移到了$i - 1$个的方案，但是此时$j - 1$为山谷，由性质②，转化为山峰，$f[i][j] += f[i - 1][i - j + 1]$

最后统计一下答案就做完了

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#define LL long long int

#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)

#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)

#define BUG(s,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) cout<<s[i]<<' '; puts("");

using namespace std;

const int maxn = 4205,maxm = 100005,INF = 1000000000;

inline int read(){

	int out = 0,flag = 1; char c = getchar();

	while (c < 48 || c > 57){if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}

	while (c >= 48 && c <= 57){out = (out << 3) + (out << 1) + c - 48; c = getchar();}

	return out * flag;

}

int f[2][maxn],n,p;

int main(){

	n = read(); p = read(); int pos = 0;

	f[1][1] = 1;

	for (int i = 2; i <= n; i++,pos ^= 1)

		for (int j = 1; j <= i; j++)

			f[pos][j] = (f[pos][j - 1] + f[pos ^ 1][i - j + 1]) % p;

	int ans = 0;

	for (int i = 2; i <= n; i++) ans = (ans + f[pos ^ 1][i]) % p;

	printf("%d\n",(ans * 2) % p);

	return 0;

}