CUDA编程（十）使用Kahan's Summation Formula提高精度

CUDA编程（十）

使用Kahan’s Summation Formula提高精度

上一次我们准备去并行一个矩阵乘法。然后我们在GPU上完毕了这个程序，当然是非常单纯的把任务分配给各个线程。也没有经过优化。终于我们看到，执行效率相当的低下，可是更重要的是出现了一个我们之前做整数立方和没遇到的问题，那就是浮点数精度损失的问题。

关注GPU运算的精度问题：

在程序的最后。我们计算了精度误差，发现最大相对误差偏高，而一般理想上应该要低于 1e-6。

我们之前将评估CUDA程序的时候也提过了。精度是CUDA程序须要重点评估的一个点，那么我们该怎样解决问题呢？我们先分析一下原因。

出现精度问题的解决办法：

事实上计算结果的误差偏高的原因非常简单。在 CPU 上进行计算时，我们使用 double（即 64 bits 浮点数）来累进计算过程。而在 GPU 上则仅仅能用 float（32 bits 浮点数）。

在累加大量数字的时候，由于累加结果非常快会变大。因此后面的数字非常easy被舍去过多的位数。

这里可能说的不是非常清楚。看完以下这个样例就清楚了。

浮点数的大数吃小数问题：

浮点数的精度：

大家应该非常清楚，浮点数在内存中是按科学计数法来存储的，分为符号位，指数位。和尾数位。

float和double各段的位数各自是：

float：

1bit（符号位） 8bits（指数位） 23bits（尾数位）

double：

1bit（符号位） 11bits（指数位） 52bits（尾数位）

float和double的精度是由尾数的位数来决定的：

float： 2^23 = 8388608。一共七位，这意味着最多能有7位有效数字，但绝对能保证的为6位，也即float的精度为6~7位有效数字。

double： 2^52 = 4503599627370496，一共16位，同理。double的精度为15~16位。

大数吃小数：

float由于位数相较于double要短不少，所以非常easy出现大数吃小数的问题：

比方我们用两个float相加:

#include <stdio.h>
int main()
{
    float a = 100998;
    float b = 2.338;
    a = a + b;
    printf("the sum is %f", a);
}

a+b 应该等于 101000.338，前面说了float的精度有6~7位，所以38可能会被截掉，3不一定，可是8必定会被截掉。我们能够实际输出一下看看：

结果是：the sum is 101000.335938

由于%f是输出double类型。能够看到转换后8这位已经没了，33是正常的。

从这里能够看到一个加法过程就没了0.008，要是加1000次。一个整8就没了。

这就是大数吃小数问题。

Kahan’s Summation Formula：

如今我们就要想办法解决问题了，我们看到标题中这个看起来非常高大上的名字，这个也叫作kahan求和算法，我们接下来就要用kahan求和来避免这样的精度损失的情况。

名字非常高大上，可是原理非常小儿科，小学生也知道，缺的我们想办法再补回来：

所以我们用一个temp变量来记住损失掉的部分，等下次加法的时候再加回去就好了。

temp= (a+b)-a-b; 在上面那个问题中 temp = -0.008,在下次计算的时候加和到下一个加数就能够一定程度的减小误差。

Kahan’s Summation Formula伪代码：

function KahanSum(input)
    var sum = 0.0
    var c = 0.0             //A running compensation for lost low-order bits.
    for i = 1 to input.length do
        y = input[i] - c    //So far, so good: c is zero.
        t = sum + y         //Alas, sum is big, y small, so low-order digits of y are lost.
        c = (t - sum) - y   //(t - sum) recovers the high-order part of y; subtracting y recovers -(low part of y)
        sum = t             //Algebraically, c should always be zero. Beware eagerly optimising compilers!
        //Next time around, the lost low part will be added to y in a fresh attempt.
    return sum

提高矩阵乘法的精度：

看着伪代码比着葫芦画瓢还是比較简单的,我们仅仅须要更改核函数中的加和部分就可以：

原版

    //计算矩阵乘法
    if (row < n && column < n)
    {
        float t = 0;
        for (i = 0; i < n; i++)
        {
            t += a[row * n + i] * b[i * n + column];
        }
        c[row * n + column] = t;
    }

改版

    //计算矩阵乘法
    if (row < n && column < n)
    {
        float t = 0;
        float y = 0;
        for (i = 0; i < n; i++)
        {
            float r;
            y -= a[row * n + i] * b[i * n + column];
            r = t - y;
            y = (r - t) + y;
            t = r;
        }
        c[row * n + column] = t;
    }

完整程序：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
//CUDA RunTime API
#include <cuda_runtime.h>
#define THREAD_NUM 256
#define MATRIX_SIZE 1000
const int blocks_num = MATRIX_SIZE*(MATRIX_SIZE + THREAD_NUM - 1) / THREAD_NUM;
//打印设备信息
void printDeviceProp(const cudaDeviceProp &prop)
{
    printf("Device Name : %s.\n", prop.name);
    printf("totalGlobalMem : %d.\n", prop.totalGlobalMem);
    printf("sharedMemPerBlock : %d.\n", prop.sharedMemPerBlock);
    printf("regsPerBlock : %d.\n", prop.regsPerBlock);
    printf("warpSize : %d.\n", prop.warpSize);
    printf("memPitch : %d.\n", prop.memPitch);
    printf("maxThreadsPerBlock : %d.\n", prop.maxThreadsPerBlock);
    printf("maxThreadsDim[0 - 2] : %d %d %d.\n", prop.maxThreadsDim[0], prop.maxThreadsDim[1], prop.maxThreadsDim[2]);
    printf("maxGridSize[0 - 2] : %d %d %d.\n", prop.maxGridSize[0], prop.maxGridSize[1], prop.maxGridSize[2]);
    printf("totalConstMem : %d.\n", prop.totalConstMem);
    printf("major.minor : %d.%d.\n", prop.major, prop.minor);
    printf("clockRate : %d.\n", prop.clockRate);
    printf("textureAlignment : %d.\n", prop.textureAlignment);
    printf("deviceOverlap : %d.\n", prop.deviceOverlap);
    printf("multiProcessorCount : %d.\n", prop.multiProcessorCount);
}
//CUDA 初始化
bool InitCUDA()
{
    int count;
    //取得支持Cuda的装置的数目
    cudaGetDeviceCount(&count);
    if (count == 0)
    {
        fprintf(stderr, "There is no device.\n");
        return false;
    }
    int i;
    for (i = 0; i < count; i++)
    {
        cudaDeviceProp prop;
        cudaGetDeviceProperties(&prop, i);
        //打印设备信息
        printDeviceProp(prop);
        if (cudaGetDeviceProperties(&prop, i) == cudaSuccess)
        {
            if (prop.major >= 1)
            {
                break;
            }
        }
    }
    if (i == count)
    {
        fprintf(stderr, "There is no device supporting CUDA 1.x.\n");
        return false;
    }
    cudaSetDevice(i);
    return true;
}
//生成随机矩阵
void matgen(float* a, int n)
{
    int i, j;
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        for (j = 0; j < n; j++)
        {
            a[i * n + j] = (float)rand() / RAND_MAX + (float)rand() / (RAND_MAX * RAND_MAX);
        }
    }
}
// __global__ 函数 并行计算矩阵乘法
__global__ static void matMultCUDA(const float* a, const float* b, float* c, int n, clock_t* time)
{
    //表示眼下的 thread 是第几个 thread（由 0 開始计算）
    const int tid = threadIdx.x;
    //表示眼下的 thread 属于第几个 block（由 0 開始计算）
    const int bid = blockIdx.x;
    //从 bid 和 tid 计算出这个 thread 应该计算的 row 和 column
    const int idx = bid * THREAD_NUM + tid;
    const int row = idx / n;
    const int column = idx % n;
    int i;
    //记录运算開始的时间
    clock_t start;
    //仅仅在 thread 0（即 threadIdx.x = 0 的时候）进行记录，每一个 block 都会记录開始时间及结束时间
    if (tid == 0) time[bid] = clock();
    //计算矩阵乘法
    if (row < n && column < n)
    {
        float t = 0;
        //temp变量
        float y = 0;
        for (i = 0; i < n; i++)
        {
            float r;
            y -= a[row * n + i] * b[i * n + column];
            r = t - y;
            y = (r - t) + y;
            t = r;
        }
        c[row * n + column] = t;
    }
    //计算时间,记录结果。仅仅在 thread 0（即 threadIdx.x = 0 的时候）进行，每一个 block 都会记录開始时间及结束时间
    if (tid == 0)
    {
        time[bid + blocks_num] = clock();
    }
}
int main()
{
    //CUDA 初始化
    if (!InitCUDA()) return 0;
    //定义矩阵
    float *a, *b, *c, *d;
    int n = MATRIX_SIZE;
    //分配内存
    a = (float*)malloc(sizeof(float)* n * n);
    b = (float*)malloc(sizeof(float)* n * n);
    c = (float*)malloc(sizeof(float)* n * n);
    d = (float*)malloc(sizeof(float)* n * n);
    //设置随机数种子
    srand(0);
    //随机生成矩阵
    matgen(a, n);
    matgen(b, n);
    /*把数据拷贝到显卡内存中*/
    float *cuda_a, *cuda_b, *cuda_c;
    clock_t* time;
    //cudaMalloc 取得一块显卡内存
    cudaMalloc((void**)&cuda_a, sizeof(float)* n * n);
    cudaMalloc((void**)&cuda_b, sizeof(float)* n * n);
    cudaMalloc((void**)&cuda_c, sizeof(float)* n * n);
    cudaMalloc((void**)&time, sizeof(clock_t)* blocks_num * 2);
    //cudaMemcpy 将产生的矩阵拷贝到显卡内存中
    //cudaMemcpyHostToDevice - 从内存拷贝到显卡内存
    //cudaMemcpyDeviceToHost - 从显卡内存拷贝到内存
    cudaMemcpy(cuda_a, a, sizeof(float)* n * n, cudaMemcpyHostToDevice);
    cudaMemcpy(cuda_b, b, sizeof(float)* n * n, cudaMemcpyHostToDevice);
    // 在CUDA 中执行函数 语法：函数名称<<<block 数目, thread 数目, shared memory 大小>>>(參数...);
    matMultCUDA << < blocks_num, THREAD_NUM, 0 >> >(cuda_a, cuda_b, cuda_c, n, time);
    /*把结果从显示芯片复制回主内存*/
    clock_t time_use[blocks_num * 2];
    //cudaMemcpy 将结果从显存中复制回内存
    cudaMemcpy(c, cuda_c, sizeof(float)* n * n, cudaMemcpyDeviceToHost);
    cudaMemcpy(&time_use, time, sizeof(clock_t)* blocks_num * 2, cudaMemcpyDeviceToHost);
    //Free
    cudaFree(cuda_a);
    cudaFree(cuda_b);
    cudaFree(cuda_c);
    cudaFree(time);
    //把每一个 block 最早的開始时间。和最晚的结束时间相减。取得总执行时间
    clock_t min_start, max_end;
    min_start = time_use[0];
    max_end = time_use[blocks_num];
    for (int i = 1; i < blocks_num; i++)
    {
        if (min_start > time_use[i]) min_start = time_use[i];
        if (max_end < time_use[i + blocks_num]) max_end = time_use[i + blocks_num];
    }
    //核函数执行时间
    clock_t final_time = max_end - min_start;
    //CPU矩阵乘法，存入矩阵d
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            double t = 0;
            for (int k = 0; k < n; k++)
            {
                t += a[i * n + k] * b[k * n + j];
            }
            d[i * n + j] = t;
        }
    }
    //验证正确性与精确性
    float max_err = 0;
    float average_err = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            if (d[i * n + j] != 0)
            {
                //fabs求浮点数x的绝对值
                float err = fabs((c[i * n + j] - d[i * n + j]) / d[i * n + j]);
                if (max_err < err) max_err = err;
                average_err += err;
            }
        }
    }
    printf("Max error: %g Average error: %g\n", max_err, average_err / (n * n));
    printf("gputime: %d\n", final_time);
    return 0;
}

执行结果：

我们看到结果还是效果还是非常不错的，我们上次的结果是：

Max error：2.07589e-006

Average error :3.3492e-007

gpu time:189967999

而眼下的结果是：

Max error：1.19206e-007

Average error :7.70641e-010

gpu time:210779939

我们能够看到准确度确实有了非常大的提升，当然效率还是一如既往地慢，只是我们至少把精度问题给攻克了。

总结：

之前我们用CUDA完毕了矩阵乘法，可是当然会存在非常多问题，除了速度问题。GPU浮点数运算的精度也非常差，本篇博客从出现误差的原理（浮点数大数吃小数）分析，使用了Kahan’s Summation Formula在一定程度上攻克了CUDA运算float精度不够的情况。接下来我们会着手去解决速度问题~

希望我的博客能帮助到大家~

參考资料：《深入浅出谈CUDA》