loj2513 治疗之雨

题意：你的英雄一开始血量为p，你还有m个队友，血量无穷。血量上限为n，下限为0。如果血量满了就不能加血。每次启动操作，随机给m+1个英雄加1点血，然后等概率随机k次每次对于英雄扣1点血。求期望操作几次你的英雄没血？

n,m,p<=1500.

标程：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int mod=1e9+;
 const int N=;
 int n,p,m,k,f[N],inv[N],g[N][N],ans[N];
 int ksm(int x,int y)
 {
     int res=;
     while (y) {if (y&) res=(ll)res*x%mod; y>>=;x=(ll)x*x%mod;}
     return res;
 }
 int Inv(int x){return ksm(x,mod-);}
 void gauss()
 {
     for (int i=n;i>=;i--)
     {
         if (g[i][i]==&&g[i-][i]==) {puts("-1");return;}
         if (g[i][i]==)
         {
           for (int j=;j<=i;j++) swap(g[i][j],g[i-][j]);
           swap(g[i][n+],g[i-][n+]);
         }
         else
         {
           if (!g[i-][i]) continue;
           int v=(ll)g[i-][i]*Inv(g[i][i])%mod;
           for (int j=;j<=i;j++)
             g[i-][j]=((ll)g[i-][j]-(ll)g[i][j]*v%mod+mod)%mod;
           g[i-][n+]=((ll)g[i-][n+]-(ll)g[i][n+]*v%mod+mod)%mod;
         }
     }
     for (int i=;i<=p;i++)
     {
         ans[i]=g[i][n+];
         for (int j=;j<i;j++)
           ans[i]=((ll)ans[i]-(ll)ans[j]*g[i][j]%mod+mod)%mod;
         ans[i]=(ll)ans[i]*Inv(g[i][i])%mod;
         if (!ans[i]) {puts("-1");return;}
     }
     printf("%d\n",ans[p]);
 }
 void init()
 {
     memset(g,,sizeof(g));
     int tmp=,c=,in,inn;in=inn=Inv(m+);
     for (int i=;i<=min(n,k);i++)
     {
         c=(ll)c*(k-i+)%mod*inv[i]%mod;
         tmp=(ll)tmp*in%mod;
         f[i]=(ll)c*tmp%mod;
     }
     in=(ll)m*in%mod;tmp=ksm(in,k-min(n,k));
     f[]=;
     for (int i=min(n,k);i>=;i--)
       f[i]=(ll)f[i]*tmp%mod,tmp=(ll)tmp*in%mod;

     for (int i=;i<=n;i++)
     {
         if (i==n) in=,inn=;
         for (int j=max(i-k,);j<=i;j++)
         {
           g[i][j]=((ll)g[i][j]+(ll)f[i-j]*in%mod)%mod;
           if (j+<=n) g[i][j+]=(ll)f[i-j]*inn%mod;
         }
         g[i][i]=((ll)g[i][i]-+mod)%mod;g[i][n+]=mod-;
     }
 }
 int main()
 {
     int T;scanf("%d",&T);
     inv[]=inv[]=; for (int i=;i<=;i++) inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
     while (T--) {
         scanf("%d%d%d%d",&n,&p,&m,&k);
         init();gauss();
     }
     return ;
 }

易错点:1.注意对无解的特判，如果有概率为0就是-1。

题解：dp+高斯消元

一般dp式子：dp[i]表示还剩下i滴血直到英雄死去的期望操作次数。分自己的英雄是否加血讨论。f[i]表示血量减少i的概率，可以预处理。

$dp[i]=(\sum_{j=i-k}^{i}dp[j]*f[i-j]*m/(m+1)+\sum_{j=i-k+1}^{i+1}dp[j]*f[i+1-j]*1/(m+1))+1$。

但是由于有dp[i+1]，难以递推。考虑设未知数进行高斯消元。高斯消元不是n^3*logn的吗？

由于这个矩阵写出来是阶梯状往右，第i行的最右边元素只到i+1，所以只用下面一行来减去它，化成右下三角矩阵求即可。时间复杂度O(n^2(*logn))。

或者直接用前n-1个式子写出dp[i]=Ax+B的表达式，然后再全部代入最后一个dp[n]=....的式子中，解Ax+B=A'x+B'即可。