浅谈fhq_treap

\(BST\)

二叉查找树，首先它是一颗二叉树，其次它里面每个点都满足以该点左儿子为根的子树里结点的值都小于自己的值，以该点右儿子为根的子树里结点的值都大于自己的值。如果不进行修改，每次查询都是\(O(logn)\)的。

\(fhq\)_\(treap\)

一种支持分离与合并的二叉查找树，由于合并使用了随机函数，所以在一定程度上来说是均摊\(logn\)的，所以我们还称它为平衡树。基本上所有的平衡树能做的事情它都能做，甚至是可持久化。

分离

分离操作有两种写法，一种是按权值分离，还有一种是分离出树内的前\(x\)个。因为分离之后会有两个根，所以我们返回一个\(pair\)来表示这两个根。

分离树内前\(k\)个元素代码如下：

pii split(int a,int k) {
    if(c[a]==k)return make_pair(a,0);//整个树就是第一部分
    if(k==0)return make_pair(0,a);//第一部分为0
    pii tmp;
    if(c[son[a][0]]>=k) {
        tmp=split(son[a][0],k);
        son[a][0]=tmp.second;
        updata(a);
        return make_pair(tmp.first,a);//分离左子树的前k个，把剩下的接回a，然后一起返回
    }
    else {
        tmp=split(son[a][1],k-c[son[a][0]]-1);
        son[a][1]=tmp.first;
        updata(a);
        return make_pair(a,tmp.second);//同上
    }
}

合并

合并两个\(treap\)，保证第一棵树里所有的结点权值均小于第二棵树的结点权值。因为一直按某一个方向合并可能会被出题人卡，所以我们采用随机函数。如果两棵树分别是\(x\)与\(y\)，它们的大小分别是\(siz[x]\)和\(siz[y]\)，那么就有\(\frac{siz[x]}{siz[x]+siz[y]}\)的几率把\(y\)根\(x\)的右子树合并，有\(\frac{siz[y]}{siz[x]+siz[y]}\)的几率把\(x\)与\(y\)的左子树合并。显然，谁的\(siz\)越大，就有越大的几率将另一棵树与它的子树合并，也用到了启发式合并的思想。

代码如下：

int merge(int a,int b) {
    if(!a||!b)return a+b;
    if(random(c[a]+c[b])<=c[a]) {
        son[a][1]=merge(son[a][1],b);
        updata(a);
        return a;
    }
    else {
        son[b][0]=merge(a,son[b][0]);
        updata(b);
        return b;
    }
}

当然你也可以一开始就给每个点随机一个值，然后直接比较随机值大小合并。常数要比这样小得多得多。

插入

想办法把比插入元素小的和比插入元素大的分成两部分，然后把第一部分与插入元素合并，然后继续与第二部分合并。

删除

将要删除的元素分离出来（将树分成三部分，第一部分是比要删除元素小的，第二部分是要删除元素，第三部分是比要删除元素大的），然后合并第一三部分，第二部分扔点不要。

任何对区间的操作都可以这样，将树分成三个部分，第一部分是比区间要小的，第二部分就是你要操作的区间，第三部分就是比区间大的。然后在第二部分打标记，最后合并到一起即可。

模板：https://www.cnblogs.com/AKMer/p/9985277.html

区间操作模板：https://www.cnblogs.com/AKMer/p/9987089.html