ST表学习总结
前段时间做16年多校联合赛的Contest 1的D题(HDU 5726)时候遇到了多次查询指定区间的gcd值的问题,疑惑于用什么样的方式进行处理,最后上网查到了ST表,开始弄得晕头转向,后来才慢慢找到了一点门道,于是把这些东西都写下来,以备不时之需。
关于ST表:
首先需要特别说明,ST表的适用范围主要用于区间查询,因为如果要涉及更改的话需要改变整个ST表的值,在理论上,ST表建表的复杂度为O(nlogn),比线段树的单点更新的O(logn)还是要高一些的,面对大量修改操作的时候有超时风险,故不推荐在需要单点更新的更不用说区间更新题目中使用。
含义:那么在原理上,ST表中的某一点代表的的是原数据集中一段区间的特殊值,比如最大值,最小值,最大公约数等。以最大值为例,ST表中一点st[i][j],代表数据集中标号为i到i+2^j-1的区间的最大值。
推导:使用递归公式:st[i][j] = max(st[i][j-1],st[i+2^(j-1)][j-1])可以计算出st表中各点的值,其原理是,将(i,i+2^j-1)这个区间分开成(i,i+2^(j-1)-1)和(i+2^(j-1),i+2^j-1)这两个区间,然后比较这两个区间哪个大,并将大的保留,即为st(i,j)的值,使用了动态规划和贪心的思想,将区间划分为多个小区间,之后再整合。
查询:ST表本质还是用来帮助我们快速查找区间的特殊知道,但是根据刚刚我们对ST的介绍,我们可以很快发现ST表中好像只存储了长度为2^j的区间的值,但是我们平时的查询中,区间长度肯定不可能都恰好等于2^j,那我们怎么去查询那些区间长度不为2^j的特殊值呢,其实方法很简单,就是切割这个区间。把这个区间分为两个长度为2^(j-1)的子区间(两个子区间可能会有重叠部分,但是不会对结果产生影响)。这样,我们对这两个子区间进行查询,之后求出从这两个子区间求出的最大值谁更大,就把哪个定为原区间的最大值就好了。因为2^(j-1)已经在st数组中存放好,所以可以得到快速的得到结果。因为一次查询只要读取数组中两个点的值,所以复杂度为O(1)。
下面给两个样题,希望能对大家有帮助:
第一个题是UESTC-1591(点击可以查看原题),题目要求求指定区间的最大值与最小值的差,原本是一个线段树的样题,但是看了ST表以后,感觉用ST表写起来会更方便一些,其中既包括了求最大值,也包括了求最小值,比较有代表性。下面是ST表写完的AC代码:
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std; const int maxn=; int stmax[maxn][];
int stmin[maxn][]; int n,m; void ST() {
int k=int(log(1.0*n)/log(2.0));
for(int j=; j<=k; j++) {
for(int i=; i+(<<j)-<=n; i++) {
stmax[i][j]=max(stmax[i][j-],stmax[i+(<<(j-))][j-]);
stmin[i][j]=min(stmin[i][j-],stmin[i+(<<(j-))][j-]);
}
}
} int qmax(int l,int r) {
int k=int(log(1.0*(r-l+))/log(2.0));
return max(stmax[l][k],stmax[r-(<<k)+][k]);
} int qmin(int l,int r) {
int k=int(log(1.0*(r-l+))/log(2.0));
return min(stmin[l][k],stmin[r-(<<k)+][k]);
} int main() {
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=; i<=n; i++) {
int temp;
scanf("%d",&temp);
stmax[i][]=stmin[i][]=temp;
}
ST();
for(int i=; i<m; i++) {
int a,b;
scanf("%d %d",&a,&b);
int ans=qmax(a,b)-qmin(a,b);
printf("%d\n",ans);
} return ;
}
之后的第二个样题是HDU 5726,是求一个区间的最大公约数,并且同时输出有多少个区间和这个区间的最大公约数相同。因为这个题目需要知道有多少个区间的最大公约数和那个区间相同,考虑到规模很明显不能现算,所以用ST表是一种不错的选择,这个题目同时还涉及到了gcd的不会递增的性质和二分查找,大家只需要关注一下ST表的建立和查询那部分就好了。
AC代码:
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <map>
#include <string.h>
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=;
map<int,long long> mp; int gcd(int a,int b){
if(b==){
return a;
}
return gcd(b,a%b);
} int n,m;
int st[maxn][]; void ST(){
int k=int(log(1.0*n)/log(2.0));
for(int j=;j<=k;j++){
for(int i=;i+(<<j)<=n;i++){
st[i][j]=gcd(st[i][j-],st[i+(<<(j-))][j-]);
}
}
} int query(int l,int r){
int k=int(log(1.0*(r-l+))/log(2.0));
return gcd(st[r-(<<k)+][k],st[l][k]);
} int main(){
int T;
scanf("%d",&T);
for(int cas=;cas<=T;cas++){
memset(st,,sizeof(st));
mp.clear();
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<n;i++){
scanf("%d",&st[i][]);
}
ST();
for(int i=;i<n;i++)
{
int t,ll=i;
while(ll<n)
{
t=query(i,ll);
int l=ll,r=n-;
while(l<r)
{
int mid=(l+r+)>>;
if(query(i,mid)>=t)l=mid;
else r=mid-;
}
mp[t]+=l-ll+;
ll=l+;
}
}
int q;
scanf("%d",&q);
printf("Case #%d:\n",cas);
while(q--)
{
int l,r;
scanf("%d%d",&l,&r);
l--,r--;
printf("%d %I64d\n",query(l,r),mp[query(l,r)]);
} }
return ;
}
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