C++之路进阶——codevs2460（树的统计）

2460 树的统计

2008年省队选拔赛浙江

 时间限制: 2 s

 空间限制: 128000 KB

 题目等级 : 大师 Master

 

 

 

题目描述 Description

一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。

我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成一些操作：

1. I.                    CHANGE u t : 把结点u的权值改为t
2. II.                 QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值
3. III.               QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和

 

注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身

输入描述 Input Description

输入文件的第一行为一个整数n，表示节点的个数。

接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有一条边相连。

       接下来n行，每行一个整数，第i行的整数wi表示节点i的权值。

接下来1行，为一个整数q，表示操作的总数。

接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。

输出描述 Output Description

对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。

样例输入 Sample Input

4

1 2

2 3

4 1

4 2 1 3

12

QMAX 3 4

QMAX 3 3

QMAX 3 2

QMAX 2 3

QSUM 3 4

QSUM 2 1

CHANGE 1 5

QMAX 3 4

CHANGE 3 6

QMAX 3 4

QMAX 2 4

QSUM 3 4

样例输出 Sample Output

4

1

2

2

10

6

5

6

5

16

数据范围及提示 Data Size & Hint

对于100％的数据，保证1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。

题解

裸的树链剖分...

树链剖分就是把树拆成一系列链，然后用数据结构对链进行维护。

通常的剖分方法是轻重链剖分，所谓轻重链就是对于节点u的所有子结点v，size[v]最大的v与u的边是重边，其它边是轻边，其中size[v]是以v为根的子树的节点个数，全部由重边组成的路径是重路径，根据论文上的证明，任意一点到根的路径上存在不超过logn条轻边和logn条重路径。

这样我们考虑用数据结构来维护重路径上的查询，轻边直接查询。

通常用来维护的数据结构是线段树，splay较少见。

具体步骤

预处理

第一遍dfs求出树每个结点的深度deep[x]，其为根的子树大小size[x]

以及祖先的信息fa[x][i]表示x往上距离为2^i的祖先

第二遍dfs

ž根节点为起点，向下拓展构建重链

选择最大的一个子树的根继承当前重链

其余节点，都以该节点为起点向下重新拉一条重链

ž给每个结点分配一个位置编号，每条重链就相当于一段区间，用数据结构去维护。

把所有的重链首尾相接，放到同一个数据结构上，然后维护这一个整体即可

修改操作

ž1、单独修改一个点的权值

根据其编号直接在数据结构中修改就行了。

2、修改点u和点v的路径上的权值

（1）若u和v在同一条重链上

直接用数据结构修改pos[u]至pos[v]间的值。

（2）若u和v不在同一条重链上

一边进行修改，一边将u和v往同一条重链上靠，然后就变成了情况（1）。

查询操作

ž查询操作的分析过程同修改操作

题目不同，选用不同的数据结构来维护值，通常有线段树和splay

代码：

树链剖分

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #define INF 0x7fffffff
 #define N 30005
 #define M 60005

 using namespace std;

 int n,q,cnt,sz;
 int fa[N][],v[N],deep[N],size[N],head[N];
 int pos[N],belong[N];
 bool vis[N];
 struct node
     {
      int to;
      int next;
     }e[M];

 struct ss
      {
        int l;
        int r;
        int mx;
        int sum;
      }t[];

 void insert(int u,int v)
    {
     e[++cnt].to=v; e[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt;
     e[++cnt].to=u; e[cnt].next=head[v]; head[v]=cnt;
    }

 void inint()
    {
      scanf("%d",&n);
      for (int i=;i<n;i++)
         {
           int x,y;
           scanf("%d%d",&x,&y);
           insert(x,y);
         }
     for (int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&v[i]);
    }

 void getree(int x)
    {
      size[x]=;
      vis[x]=;
      for (int i=;i<=;i++)
         {
           if (deep[x]<(<<i)) break;
           fa[x][i]=fa[fa[x][i-]][i-];
         }
     for (int i=head[x];i;i=e[i].next)
         {
           if (vis[e[i].to]) continue;
           deep[e[i].to]=deep[x]+;
           fa[e[i].to][]=x;
           getree(e[i].to);
           size[x]+=size[e[i].to];
         }
    }

 void dfs(int x,int chain)
    {
     int k=;
     sz++;
     pos[x]=sz;
     belong[x]=chain;
     for (int i=head[x];i;i=e[i].next)
         if (deep[e[i].to]>deep[x]&&size[e[i].to]>size[k])
            k=e[i].to;
     if (k==) return;
     dfs(k,chain);
     for (int i=head[x];i;i=e[i].next)
        if (deep[e[i].to]>deep[x]&&k!=e[i].to)
            dfs(e[i].to,e[i].to);
    }

 int lca(int x,int y)
   {
     if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
     int t=deep[x]-deep[y];
     for (int i=;i<=;i++)
        if ((<<i)&t) x=fa[x][i];
     for (int i=;i>=;i--)
          if (fa[x][i]!=fa[y][i])
               {
                x=fa[x][i];
                y=fa[y][i];
               }
     if (x==y) return x;
      else return fa[x][];
   } 

 void build(int k,int l,int r)
    {
      t[k].l=l;
      t[k].r=r;
      if (l==r) return;
      int mid=(l+r)>>;
      build(k<<,l,mid);
      build(k<<|,mid+,r);
    }

 void change(int k,int x,int y)
    {
       int l=t[k].l,r=t[k].r,mid=(l+r)>>;
       if (l==r)
           {
             t[k].sum=t[k].mx=y;
             return;
           }
       if (x<=mid) change(k<<,x,y);
          else change(k<<|,x,y);
       t[k].sum=t[k<<].sum+t[k<<|].sum;
       t[k].mx=max(t[k<<].mx,t[k<<|].mx);
    }

 int find_sum(int k,int x,int y)
    {
      int l=t[k].l,r=t[k].r,mid=(l+r)>>;
       if (l==x&&y==r) return t[k].sum;
       if (y<=mid) return find_sum(k<<,x,y);
          else if (x>mid) return find_sum(k<<|,x,y);
                else return find_sum(k<<,x,mid)+find_sum(k<<|,mid+,y);
    }

 int find_mx(int k,int x,int y)
    {
      int l=t[k].l,r=t[k].r,mid=(l+r)>>;
      if (l==x&&r==y) return t[k].mx;
      if (y<=mid) return find_mx(k<<,x,y);
         else if (x>mid) return find_mx(k<<|,x,y);
                else  return max(find_mx(k<<,x,mid),find_mx(k<<|,mid+,y));
    }

 int solve_mx(int x,int f)
    {
       int mx=-INF;
       while(belong[x]!=belong[f])
          {
            mx=max(mx,find_mx(,pos[belong[x]],pos[x]));
            x=fa[belong[x]][];
          }
      mx=max(mx,find_mx(,pos[f],pos[x]));
      return mx;
    }

 int solve_sum(int x,int f)
    {
     int sum=;
     while (belong[x]!=belong[f])
        {
          sum+=find_sum(,pos[belong[x]],pos[x]);
          x=fa[belong[x]][];
        }
     sum+=find_sum(,pos[f],pos[x]);
     return sum;
    }

 void solve()
   {
     build(,,n);
     for (int i=;i<=n;i++)
       change(,pos[i],v[i]);
     scanf("%d",&q);
     char ch[];
     for (int i=;i<=q;i++)
        {
           int x,y;
           scanf("%s%d%d",ch,&x,&y);
           if (ch[]=='C')
               {
                 v[x]=y;
                 change(,pos[x],y);
               }
              else
               {
                 int t=lca(x,y);
                 if (ch[]=='M')
                    printf("%d\n",max(solve_mx(x,t),solve_mx(y,t)));
                  else
                    printf("%d\n",solve_sum(x,t)+solve_sum(y,t)-v[t]);
               }
        }
   }

 int main()
   {
     inint();
     getree();
     dfs(,);
     solve();
     return ;
   }

块状树：

 #include<bits/stdc++.h>
 #define maxn (int)1e5+10

 using namespace std;

 vector<int>g[maxn],ge[maxn];
 int cnt,sqrtn,n,m;
 int w[maxn],sum[maxn],mx[maxn],fa[maxn],deep[maxn],bel[maxn],size[maxn];

 void dfs(int u)
    {
     for(int i=;i<g[u].size();i++)
        {
         int v=g[u][i];
         if(v==fa[u])continue;
         fa[v]=u;
         deep[v]=deep[u]+;
         if(size[bel[u]]<sqrtn)
          {
             size[bel[u]]++;bel[v]=bel[u];
             ge[u].push_back(v);
         }
         dfs(v);
     }
 }

 void dfs(int u,int s,int maxx)
   {
     s+=w[u];
     sum[u]=s;
     maxx=max(maxx,w[u]);
     mx[u]=maxx;
     for(int i=;i<ge[u].size();i++)
        dfs(ge[u][i],s,maxx);
 }

 void change(int u,int ww)
    {
     w[u]=ww;
     if(bel[u]==u) dfs(u,,INT_MIN);
     else dfs(u,sum[fa[u]],mx[fa[u]]);
 } 

 pair<int,int> qsumax(int u,int v)
    {
     int s=,maxx=INT_MIN;
     while(u!=v){
         if(deep[u]<deep[v])swap(u,v);
         if(bel[u]==bel[v])
           {
             s+=w[u];maxx=max(maxx,w[u]);
             u=fa[u];
         }
          else
            {
             if(deep[bel[u]]<deep[bel[v]])swap(u,v);
             s+=sum[u],maxx=max(maxx,mx[u]);
             u=fa[bel[u]];
         }
     }
     s+=w[u],maxx=max(maxx,w[u]);
     return pair<int,int>(s,maxx);
 }

 int main()
     {
        scanf("%d",&n);
        sqrtn=sqrt(n);
        for (int i=;i<n;i++)
          {
                int u,v;
                scanf("%d%d",&u,&v);
                g[u].push_back(v);
               g[v].push_back(u);
              }
       for (int i=;i<=n;i++)
         scanf("%d",w+i),bel[i]=i,size[i]=;
       dfs();
       int q;
       for(int i=;i<=n;i++)if(bel[i]==i)
            dfs(i,,INT_MIN);
       scanf("%d",&q);
       while (q--)
         {
           int x,y;
           char op[];
           scanf("%s%d%d",op,&x,&y);
           if(op[]=='C') change(x,y);
             else
             {
               pair<int,int>anss=qsumax(x,y);
               if(op[]=='M')
                      printf("%d\n",anss.second);
                else printf("%d\n",anss.first);
                 }
     }
       return ;
     }