如果两个顶点可以相互通达,则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。
下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
Tarjan算法是用来求有向图的强连通分量的。求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法。
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳),Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。
当DFN(u)=Low(u)时,以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。
接下来是对算法流程的演示。
从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。
返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3,继续搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,(4,6)是横叉边,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。
继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现,运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
struct node{
int v,next;
}e[M];
int head[N],cnt;
int p[N],st[N],id,top,scc;
int dfn[N],low[N],belong[N];
void add(int u,int v){
e[cnt].v=v,e[cnt].next=head[u];
head[u]=cnt++;
}
void init(){
memset(head,-,sizeof(head));
memset(p,,sizeof(p));
memset(dfn,,sizeof(dfn));
id=top=cnt=;
}
void dfs(int u){
dfn[u]=low[u]=++id;
st[++top]=u;p[u]=;
int v;
for(int i=head[u];i!=-;i=e[i].next){
v=e[i].v;
if(!dfn[v]){
dfs(v);
if(low[v]<low[u])low[u]=low[v];
}else if(p[v]&&dfn[v]<low[u]){
low[u]=dfn[v];
}
}
if(dfn[u]==low[u]){
++scc;
do{
v=st[top--];
p[v]=;
belong[v]=scc;
}while(v!=u);
}
}
void Tarjian(int n){
for(int i=;i<=n;i++){
if(!dfn[i])
dfs(i);
}
printf("%d\n",scc);
for(int i=;i<=n;i++){
printf("%d %d\n",i,belong[i]);
}
}
int main(){
int n,m,u,v;
scanf("%d%d",&n,&m);
init();
while(m--){
scanf("%d%d",&u,&v);
add(u,v);
}
Tarjian(n);
return ;
}

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