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大意是n维数组 最多k次方  结果模m的相加和是多少

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A2 + A3 + … + Ak.

Sample Input

  1. 2 2 4
  2. 0 1
  3. 1 1

Sample Output

  1. 1 2
  2. 2 3

题解

矩阵逐步的相乘然后相加是不可以 但是矩阵也有类似快速幂的做法

/*
A + A^2 =A(I+A)

A + A^2 + A^3 + A^4 = (A + A^2)(I + A^2)
记做sum(n) = A +A^2 +A^3 +...+A^n
如果n是偶数 sum(n) = sum(n/2)(I+A^(n/2))
如果n是奇数 sum(n) = sum(n-1) + A^n
= sum((n-1)/2)(I+A^((n-1)/2)) + A^n
*/

代码如下

  1. #include <iostream>
  2. #include <cstring>
  3.  
  4. using namespace std;
  5.  
  6. struct matrix {
  7. int data[][];
  8. };
  9.  
  10. int n = ;
  11. int m = ;
  12. int k = ;
  13.  
  14. //矩阵乘法
  15. matrix mul(matrix a, matrix b)
  16. {
  17. matrix c;
  18. memset(c.data, , sizeof(c.data));
  19. for (int i = ; i <= n; i++) {
  20. for (int j = ; j <= n; j++) {
  21. for (int k = ; k <= n; k++) {
  22. c.data[i][j] = (c.data[i][j] + 1ll * a.data[i][k] * b.data[k][j]) % m;
  23. }
  24. }
  25. }
  26.  
  27. return c;
  28. }
  29.  
  30. //矩阵加法
  31. matrix add(matrix a, matrix b) {
  32. for (int i = ; i <= n; i++) {
  33. for (int j = ; j <= n; j++) {
  34. a.data[i][j] = (a.data[i][j] + b.data[i][j])%m;
  35. }
  36. }
  37. return a;
  38. }
  39.  
  40. //矩阵快速幂
  41. matrix quickpow(matrix a, int k) {
  42. matrix c;
  43. memset(c.data, , sizeof(c.data));
  44. for (int i = ; i <= n; i++)
  45. c.data[i][i] = ;
  46. while (k) {
  47. if (k & ) c = mul(c, a);
  48. k >>= ;
  49. a = mul(a, a);
  50. }
  51. return c;
  52. }
  53.  
  54. //正式计算 sum k
  55. matrix sum(matrix a, int k) {
  56. if (k == ) return a;
  57. matrix c;
  58. memset(c.data, , sizeof(c.data));
  59. for (int i = ; i <= n; i++)
  60. c.data[i][i] = ;
  61. c = add(c, quickpow(a, k >> ));
  62. c = mul(c, sum(a, k >> ));
  63. if (k & ) c = add(c, quickpow(a, k));
  64. return c;
  65. }
  66.  
  67. /*
  68. A + A^2 =A(I+A)
  69.  
  70. A + A^2 + A^3 + A^4 = (A + A^2)(I + A^2)
  71. 记做sum(n) = A +A^2 +A^3 +...+A^n
  72. 如果n是偶数 sum(n) = sum(n/2)(I+A^(n/2))
  73. 如果n是奇数 sum(n) = sum(n-1) + A^n
  74. = sum((n-1)/2)(I+A^((n-1)/2)) + A^n
  75. */
  76.  
  77. int main()
  78. {
  79. matrix mat;
  80. cin >> n;
  81. cin >> k;
  82. cin >> m;
  83.  
  84. for (int i = ; i <= n; i++) {
  85. for (int j = ; j <= n; j++) {
  86. cin >> mat.data[i][j];
  87. }
  88. }
  89.  
  90. matrix ret = sum(mat, k);
  91.  
  92. for (int i = ; i <= n; i++) {
  93. for (int j = ; j <= n; j++) {
  94. cout << ret.data[i][j] << " ";
  95. }
  96. cout << endl;
  97. }
  98. }

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