BZOJ2440完全平方数（莫比乌斯反演）

Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9

, T ≤ 50

题解：

题目大意：求第k个无平方因子数是多少(无视原题干，1也是完全平方数那岂不是一个数也送不出去了？

无平方因子数(square-free number)，即质因数分解之后所有质因数的次数都为1的数

首先二分答案问题转化为求x以内有多少个无平方因子数

根据容斥原理可知对于√x以内的所有质数 x以内的无平方因子数=无需是任何质数的倍数的数的数量(即x)-是至少一个质数平方倍数的数的数量+是至少两个质数平方倍数的数的数量-是至少三个质数平方倍数的数的数量...

我们回去考虑莫比乌斯函数，我们发现每一个质数乘积的符号与莫比乌斯函数的符号恰好吻合！

于是我们枚举每一个数，如果这个数是奇数个不同质数的乘积，那么mu为负，偶数个则mu为正，否则mu为零

故答案即Σx/(i*i)*mu[i]

 /**************************************************************
     Problem: 2440
     User: SongHL
     Language: C++
     Result: Compile_Error
 ****************************************************************/
 
 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int maxn=5e4+;
 ll Prime[maxn],mob[maxn],vis[maxn],cnt;
 int T,K;
 
 void Mobius()
 {
     memset(Prime,,sizeof Prime);
     memset(mob,,sizeof mob);
     memset(vis,,sizeof vis);
     mob[]=; cnt=;
     for(ll i=;i<maxn;++i)
     {
         if(!vis[i]) Prime[cnt++]=i,mob[i]=-;
         for(ll j=;j<cnt&&i*Prime[j]<maxn;++j)
         {
             vis[i*Prime[j]]=;
             if(i%Prime[j]) mob[i*Prime[j]]=-mob[i];
             else { mob[i*Prime[j]]=; break;}
         }
     }
 }
 
 int work(int x)
 {
     int ans=;
     for(int i=;i*i<=x;++i) ans+=x/(i*i) * mob[i];
     return ans;
 }
 
 int Judge()
 {
     int l=,r=K<<,mid;
     while(l+<r)
     {
         mid=(l>>)+(r>>) +(l&r&);
         if(work(mid)>=K) r=mid;
         else l=mid;
     }
     if(work(l)>=K) return l;
     return r;
 }
 
 int main()
 {
     scanf("%d",&T);
     Mobius();
     while(T--) { scanf("%d",&K); printf("%d\n",Judge()); }
     return ;
 }