若图片出锅请转至here

概念

首先是最近公共祖先的概念(什么是最近公共祖先?):

在一棵没有环的树上,每个节点肯定有其父亲节点和祖先节点,而最近公共祖先,就是两个节点在这棵树上深度最大的公共的祖先节点。

换句话说,就是两个点在这棵树上距离最近的公共祖先节点。

所以LCA主要是用来处理当两个点仅有唯一一条确定的最短路径时的路径。

有人可能会问:那他本身或者其父亲节点是否可以作为祖先节点呢?

答案是肯定的,很简单,按照人的亲戚观念来说,你的父亲也是你的祖先,而LCA还可以将自己视为祖先节点。

举个例子吧,如下图所示4和5的最近公共祖先是2,5和3的最近公共祖先是1,2和1的最近公共祖先是1。 

这就是最近公共祖先的基本概念了,那么我们该如何去求这个最近公共祖先呢?

通常初学者都会想到最简单粗暴的一个办法:对于每个询问,遍历所有的点,时间复杂度为\(O(n*q)\) ,很明显,n和q一般不会很小。

怎么办办?

LCA其实有很多种解法,这里介绍几个

一、Tarjan大法好!

什么是Tarjan(离线)算法呢?顾名思义,就是在一次遍历中把所有询问一次性解决,所以其时间复杂度是\(O(n+q)\)。

Tarjan算法的优点在于相对稳定,时间复杂度也比较居中,也很容易理解。

下面详细介绍一下Tarjan算法的基本思路:

  1. 任选一个点为根节点,从根节点开始。

  2. 遍历该点u所有子节点v,并标记这些子节点v已被访问过。

  3. 若是v还有子节点,返回2,否则下一步。

  4. 合并v到u上。

  5. 寻找与当前点u有询问关系的点v。

  6. 若是v已经被访问过了,则可以确认u和v的最近公共祖先为v被合并到的父亲节点a。

遍历的话需要用到dfs来遍历(相信来看的人都懂吧...),至于合并,最优化的方式就是利用并查集来合并两个节点。

  • 伪代码
Tarjan(u)//marge和find为并查集合并函数和查找函数
{
for each(u,v) //访问所有u子节点v
{
Tarjan(v); //继续往下遍历
marge(u,v); //合并v到u上
标记v被访问过;
}
for each(u,e) //访问所有和u有询问关系的e
{
如果e被访问过;
u,e的最近公共祖先为find(e);
}
}

个人感觉这样还是有很多人不太理解,所以打算模拟一遍给大家看。

假设我们有一组数据 9个节点 8条边 联通情况如下:

1--2,1--3,2--4,2--5,3--6,5--7,5--8,7--9 即下图所示的树

设我们要查找最近公共祖先的点为9--8,4--6,7--5,5--3;

f[]数组为并查集的父亲节点数组,初始化f[i]=ivis[]数组为是否访问过的数组,初始为0; 

下面开始模拟过程

取1为根节点往下搜索发现有两个儿子2和3;

先搜2,发现2有两个儿子4和5,先搜索4,发现4没有子节点,则寻找与其有关系的点;

发现6与4有关系,但是vis[6]=0,即6还没被搜过,所以不操作

发现没有和4有询问关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[4]=1

表示4已经被搜完,更新f[4]=2,继续搜5,发现5有两个儿子7和8;

先搜7,发现7有一个子节点9,搜索9,发现没有子节点,寻找与其有关系的点

发现8和9有关系,但是vis[8]=0,即8没被搜到过,所以不操作

发现没有和9有询问关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[9]=1;

表示9已经被搜完,更新f[9]=7,发现7没有没被搜过的子节点了,寻找与其有关系的点;

发现5和7有关系,但是vis[5]=0,所以不操作

发现没有和7有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[7]=1

表示7已经被搜完,更新f[7]=5,继续搜8,发现8没有子节点,则寻找与其有关系的点;

发现9与8有关系,此时vis[9]=1,则他们的最近公共祖先find(9)=5

(find(9)的顺序为f[9]=7-->f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)

发现没有与8有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[8]=1

表示8已经被搜完,更新f[8]=5,发现5没有没搜过的子节点了,寻找与其有关系的点;

发现7和5有关系,此时vis[7]=1,所以他们的最近公共祖先find(7)=5

(find(7)的顺序为f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)

又发现5和3有关系,但是vis[3]=0,所以不操作,此时5的子节点全部搜完了;

返回此前一次搜索,更新vis[5]=1,表示5已经被搜完,更新f[5]=2

发现2没有未被搜完的子节点,寻找与其有关系的点;

又发现没有和2有关系的点,则此前一次搜索,更新vis[2]=1

表示2已经被搜完,更新f[2]=1,继续搜3,发现3有一个子节点6;

搜索6,发现6没有子节点,则寻找与6有关系的点,发现4和6有关系

此时vis[4]=1,所以它们的最近公共祖先find(4)=1;

(find(4)的顺序为f[4]=2-->f[2]=2-->f[1]=1 return 1;)

发现没有与6有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[6]=1,表示6已经被搜完了;

更新f[6]=3,发现3没有没被搜过的子节点了,则寻找与3有关系的点;

发现5和3有关系,此时vis[5]=1,则它们的最近公共祖先find(5)=1

(find(5)的顺序为f[5]=2-->f[2]=1-->f[1]=1 return 1;)

发现没有和3有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[3]=

更新f[3]=1,发现1没有被搜过的子节点也没有有关系的点,此时可以退出整个dfs了。

经过这次dfs我们得出了所有的答案,有没有觉得很神奇呢?是否对Tarjan算法有更深层次的理解了呢?

二、倍增LCA

何为倍增?

所谓倍增,就是按\(2\)的倍数来增大,也就是跳 \(1,2,4,8,16,32……\) 不过在这我们不是按从小到大跳,而是从大向小跳,即按\(……32,16,8,4,2,1\)来跳,如果大的跳不过去,再把它调小。这是因为从小开始跳,可能会出现“悔棋”的现象。拿 55 为例,从小向大跳,\(5≠1+2+4\),所以我们还要回溯一步,然后才能得出\(5=1+4\);而从大向小跳,直接可以得出\(5=4+1\)。这也可以拿二进制为例,\(5(101)\),从高位向低位填很简单,如果填了这位之后比原数大了,那我就不填,这个过程是很好操作的。

这里以编号为17和18结点为例

\(17->3\)

\(18->5->3\)

可以看出向上跳的次数大大减小。这个算法的时间复杂度为\(O(nlogn)\),已经可以满足大部分的需求。

想要实现这个算法,首先我们要记录各个点的深度和他们\(2^i\)级的的祖先,用数组\(\rm{deep}\)表示每个节点的深度,\(fa[i][j]\)表示节点\(i\)的\(2^j\)级祖先。 代码如下:

inline void getdeep(int now,int father)//now表示当前节点,father表示它的父亲节点
{
deep[now]=deep[father]+1;
fa[now][0]=father;
for(int i=1;(1<<i)<=deep[now];i++)
fa[now][i]=fa[fa[now][i-1]][i-1];//这个转移可以说是算法的核心之一
//意思是f的2^i祖先等于f的2^(i-1)祖先的2^(i-1)祖先
//2^i=2^(i-1)+2^(i-1)
for(int i=head[now];i;i=edge[i].next)//注意:尽量用链式前向星来存边,速度会大大提升
{
if(edge[i].to==father)continue;
getdeep(edge[i].to,now);
}
}

然后我们要算出log2n

log2n=log(n)/log(2)+0.5;

接下来就是倍增LCA了,我们先把两个点提到同一高度,再统一开始跳

但我们在跳的时候不能直接跳到它们的LCA,因为这可能会误判,比如\(4\)和\(8\),在跳的时候,我们可能会认为\(1\)是它们的LCA,但\(1\)只是它们的祖先,它们的LCA其实是\(3\)。所以我们要跳到它们LCA的下面一层,比如\(4\)和\(8\),我们就跳到\(4\)和\(5\),然后输出它们的父节点,这样就不会误判了。

inline int lca(int u,int v)
{
int deepu=deep[u],deepv=deep[v];
if(deepu!=deepv)//先跳到同一深度
{
if(deep[u]<deep[v])
{
swap(u,v);
swap(deepu,deepv);
}
int d=deepu-deepv;
for(int i=0;i<=log2n;i++)
if((1<<i)&d)u=fa[u][i];
}
if(u==v)return u;
for(int i=log2n;i>=0;i--)
{
if(deep[fa[u][i]]<=0)continue;
if(fa[u][i]==fa[v][i])continue;
else u=fa[u][i],v=fa[v][i];//因为我们要跳到它们LCA的下面一层,所以它们肯定不相等,如果不相等就跳过去。
}
return fa[u][0];
}

完整的求17和18的LCA的路径:

\(17->10->7->3\)

\(18->16->8->5->3\)

解释:首先,\(18\)要跳到和\(17\)深度相同,然后\(18\)和\(17\)一起向上跳,一直跳到LCA的下一层(\(17\)是\(7\),\(18\)是\(5\)),此时LCA就是它们的父亲

总体来说就是这样了;

参考博文:https://www.cnblogs.com/jvxie/p/4854719.html

参考博文:https://www.luogu.org/blog/morslin/solution-p3379

算法详解之最近公共祖先(LCA)的更多相关文章

  1. Luogu 2245 星际导航(最小生成树,最近公共祖先LCA,并查集)

    Luogu 2245 星际导航(最小生成树,最近公共祖先LCA,并查集) Description sideman做好了回到Gliese 星球的硬件准备,但是sideman的导航系统还没有完全设计好.为 ...

  2. POJ 1330 Nearest Common Ancestors / UVALive 2525 Nearest Common Ancestors (最近公共祖先LCA)

    POJ 1330 Nearest Common Ancestors / UVALive 2525 Nearest Common Ancestors (最近公共祖先LCA) Description A ...

  3. EM算法详解

    EM算法详解 1 极大似然估计 假设有如图1的X所示的抽取的n个学生某门课程的成绩,又知学生的成绩符合高斯分布f(x|μ,σ2),求学生的成绩最符合哪种高斯分布,即μ和σ2最优值是什么? 图1 学生成 ...

  4. [模板] 最近公共祖先/lca

    简介 最近公共祖先 \(lca(a,b)\) 指的是a到根的路径和b到n的路径的深度最大的公共点. 定理. 以 \(r\) 为根的树上的路径 \((a,b) = (r,a) + (r,b) - 2 * ...

  5. 【lhyaaa】最近公共祖先LCA——倍增!!!

    高级的算法——倍增!!! 根据LCA的定义,我们可以知道假如有两个节点x和y,则LCA(x,y)是 x 到根的路 径与 y 到根的路径的交汇点,同时也是 x 和 y 之间所有路径中深度最小的节 点,所 ...

  6. BM算法  Boyer-Moore高质量实现代码详解与算法详解

    Boyer-Moore高质量实现代码详解与算法详解 鉴于我见到对算法本身分析非常透彻的文章以及实现的非常精巧的文章,所以就转载了,本文的贡献在于将两者结合起来,方便大家了解代码实现! 算法详解转自:h ...

  7. kmp算法详解

    转自:http://blog.csdn.net/ddupd/article/details/19899263 KMP算法详解 KMP算法简介: KMP算法是一种高效的字符串匹配算法,关于字符串匹配最简 ...

  8. 机器学习经典算法详解及Python实现--基于SMO的SVM分类器

    原文:http://blog.csdn.net/suipingsp/article/details/41645779 支持向量机基本上是最好的有监督学习算法,因其英文名为support vector  ...

  9. [转] KMP算法详解

    转载自:http://www.matrix67.com/blog/archives/115 KMP算法详解 如果机房马上要关门了,或者你急着要和MM约会,请直接跳到第六个自然段.    我们这里说的K ...

随机推荐

  1. Oltu在Jersey框架上实现oauth2.0授权模块

    oltu是一个开源的oauth2.0协议的实现,本人在此开源项目的基础上进行修改,实现一个自定义的oauth2.0模块. 关于oltu的使用大家可以看这里:http://oltu.apache.org ...

  2. 张忠谋:3nm制程会出来 2nm后很难(摩尔定律还可维持10年)

    集微网消息,台积电董事长张忠谋表示,摩尔定律可能还可再延续10年,3nm制程应该会出来,2nm则有不确定性,2nm之后就很难了. 张忠谋表示,1998年英特尔总裁贝瑞特来台时,两人曾针对摩尔定律还可延 ...

  3. 非参贝叶斯(Bayesian Non-parameter)初步

    0. motivations 如何确定 GMM 模型的 k,既观察到的样本由多少个高斯分布生成.由此在数据属于高维空间中时,根本就无法 visualize,更加难以建立直观,从而很难确定 k,高斯分布 ...

  4. nyoj116士兵杀死(两)段树单点更新

    士兵杀敌(二) 时间限制:1000 ms  |  内存限制:65535 KB 难度:5 描写叙述 南将军手下有N个士兵,分别编号1到N,这些士兵的杀敌数都是已知的. 小工是南将军手下的军师,南将军常常 ...

  5. Matlab随笔之指派问题的整数规划

    原文:Matlab随笔之指派问题的整数规划 注:除了指派问题外,一般的整数规划问题无法直接利用Matlab函数,必须Matlab编程实现分支定界法和割平面解法. 常用Lingo等专用软件求解整数规划问 ...

  6. debian kill 进程等命令

    netstat -antup 查看所有进程   譬如Firefox现在僵死,无法相应请求.打开一个终端,输入: pgrep firefox 会返回数值,譬如是7198.现在输入: kill 7198 ...

  7. MQTT是IBM开发的一个即时通讯协议,构建于TCP/IP协议上,是物联网IoT的订阅协议,借助消息推送功能,可以更好地实现远程控制

    最近一直做物联网方面的开发,以下内容关于使用MQTT过程中遇到问题的记录以及需要掌握的机制原理,主要讲解理论. 背景 MQTT是IBM开发的一个即时通讯协议.MQTT构建于TCP/IP协议上,面向M2 ...

  8. Android开发四大件

    四大组件 Activity Activity是Android应用程序的界面,比如查看联系人.打电话.玩游戏的界面等一个应用程序通常包含多个Activity,即多个界面Activity通过布局管理各种V ...

  9. easyui Full Layout

    @{    Layout = null;}<!DOCTYPE html><html><head>    <meta name="viewport&q ...

  10. MEF 插件式开发 - 小试牛刀

    原文:MEF 插件式开发 - 小试牛刀 目录 MEF 简介 实践出真知 面向接口编程 控制反转(IOC) 构建入门级 MEF 相关参考 MEF 简介 Managed Extensibility Fra ...