MT【123】利用第一次的技巧

已知 \(r_1=0,r_{100}=0.85,(r_k\) 表示投 k 次投中的概率.)
求证:(1)是否存在\(n_0\)使得\(r_{n_0}=0.5\)
(2)是否存在\(n_1\)使得\(r_{n_1}=0.8\)

\(\textbf{分析:假设}r_1<0.8,r_2<0.8\cdots,r_{n_0}<0.8,r_{n_1}\ge0.8 (\textbf{第一次很重要})\)
\(r_{n_0}=\dfrac{m_0}{n_0}<0.8,(\textbf{其中} m_0 \textbf{表示前} n_0 \textbf{次投球中投中的次数),故}5m_0<4n_0\)
得\(5(m_0+1)\le4(n_0+1)\),即\(\dfrac{m_0+1}{n_0+1}\le\dfrac{4}{5}\)
\(\therefore \textbf{一定存在}r_{n_1}=0.8,(\textbf{其中}n_1=n_{0}+1), \textbf{否则}\)\(r_{n_0+1}\textbf{无论是} \dfrac{m_0}{n_0+1}\textbf{还是}\dfrac{m_0+1}{n_0+1}\textbf{都小于}\dfrac{4}{5}\textbf{与}r_{n_1}\ge0.8\textbf{矛盾}.\)