欧拉筛——$O(n)$复杂度的质数筛法

欧拉筛法可以以\(O(n)\)的时间，空间复杂度求出\(1-n\)范围内的所有质数. 其核心思想是每个合数仅会被其最小的质因数筛去一次.
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```cpp
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int MAXN(1000001);
int n_prime(0);
bool not_prime[MAXN];
int prime[80000];
/*
  There are 78498 prime numbers in the interval [1, 1000000].
  It's secure to use floor(x / ln(x) * 1.14) as the size of prime array.
  See the website given above for details.
*/

int main()
{
    not_prime[1] = true;
    for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
        !not_prime[i] && (prime[n_prime++] = i);
        for (int j = 0, t; j < n_prime && (t = i * prime[j]) < MAXN; ++j) {
            not_prime[t] = true;
            if (!(i % prime[j]))
                break;
        }
    }
    return 0;
}

对于待求区间内的任意合数\(n\), 其必定存在一个最小质因数\(p\). 设\(m = n / p\), 显然, \(m < n\), 且\(m\)的最小质因数大于等于\(p\). 因此, 在not_prime[n]被赋值为true之前, 不会出现m % prime[j] == 0的情况, 也就不会触发跳出循环的break语句. 所以, 待求区间内的所有合数都一定会被筛除.

设\(q\)为\(n\)的质因数, 且\(q \ne p\). 令\(k = n / q\). 因为\(p | n\), 且\(p < q\), 所以当外层循环循环至i = k时, 内层循环一定会在循环至prime[j] == q之前触发i % p == 0而导致中断. 因此, 每个合数仅会被其最小的质因数筛去一次, 也就保证了该算法\(O(n)\)的复杂度.