UOJ#335. 【清华集训2017】生成树计数 多项式,FFT,下降幂,分治

原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ335.html

前言

CLY大爷随手切这种题。

日常被CLY吊打系列。

题解

首先从 pruffer 编码的角度考虑这个问题。

pruffer 编码的长度为 $n-2$ ，如果点 $i$ 在 pruffer 编码中出现了 $d_i - 1$ 次，那么点 $i$ 的度数就是 $d_i$ ，对答案的贡献次数就是 $\binom {n-2}{d_i}a_i ^ {d_i}$ 。

于是自然想到用 EGF 做这个题。设

$$f_k(x) = \sum_{i=0}^{n-2} a_k ^ i (i+1) ^ m \frac{x^i}{i!}\\ g_k = \sum_{i=0}^{n-2} a_k ^ i (i+1) ^ {2m} \frac {x^i} {i!}$$

则答案就等于

$$\left(\prod_{i=1}^n a_i \right)  \times \sum_{i=1}^n g_i(x) \prod_{j=1,j\neq i}^{n} f_j(x)$$

这个 EGF 的 $n-2$ 次项的系数。（注意是多项式系数乘以 $(n-2)!$)

假设

$$(x + 1) ^ m = \sum_{j=0}^m v_j i ^ {\underline{j}}$$

我们考虑对 $f_k(x)$ 操作一波，把：

$$\begin{eqnarray*}f_k(x) &=& \sum_{i=0}^{n-2} \frac{(a_kx)^i}{i!}\sum_{j=0}^m v_j i^{\underline{j}}\\&=&\sum_{j=0}^m v_j (a_kx) ^ j \sum_{i=0}^{n-2}\frac{(a_kx) ^ i}{i!}\\&=& \sum_{j=0}^m v_j(a_kx) ^ j e ^ {a_kx} \pmod {x^n-2} \end{eqnarray*}$$

设

$$(x + 1) ^2m = \sum_{j=0}^2m V_j i ^ {\underline{j}}$$

同理，我们对 $g_k(x)$ 也做类似的操作，可以得到

$$ans = \left(\prod_{i=1}^n a_i \right) e ^ {x\sum_{i=1}^n a_i} \sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=0}^{2m} V_j (a_ix)^j \right)\prod_{k=1,k\neq i }^n \left(\sum_{t=0}^{m} v_j (a_kx)^t \right)$$

分治 FFT 即可。

时间复杂度 $O(nm\log ^2 n)$ 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define clr(x) memset(x,0,sizeof (x))
#define For(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define Fod(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
#define pb(x) push_back(x)
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define fi first
#define se second
#define _SEED_ ('C'+'L'+'Y'+'A'+'K'+'I'+'O'+'I')
#define outval(x) printf(#x" = %d\n",x)
#define outvec(x) printf("vec "#x" = ");for (auto _v : x)printf("%d ",_v);puts("")
#define outtag(x) puts("----------"#x"----------")
#define outarr(a,L,R) printf(#a"[%d...%d] = ",L,R);\
						For(_v2,L,R)printf("%d ",a[_v2]);puts("");
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef vector <int> vi;
LL read(){
	LL x=0,f=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch))
		f|=ch=='-',ch=getchar();
	while (isdigit(ch))
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
const int N=30005,M=65,Len=1<<16,mod=998244353;
int Pow(int x,int y){
	int ans=1;
	for (;y;y>>=1,x=(LL)x*x%mod)
		if (y&1)
			ans=(LL)ans*x%mod;
	return ans;
}
void Add(int &x,int y){
	if ((x+=y)>=mod)
		x-=mod;
}
void Del(int &x,int y){
	if ((x-=y)<0)
		x+=mod;
}
int del(int x){
	return x<0?x+mod:x;
}
int add(int x){
	return x>=mod?x-mod:x;
}
namespace poly{
	int R[Len],w[Len];
	void init(int n,int d){
		For(i,1,n-1)
			R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(d-1));
		w[0]=1,w[1]=Pow(3,(mod-1)/n);
		For(i,2,n-1)
			w[i]=(LL)w[i-1]*w[1]%mod;
	}
	void FFT(int *a,int n,int flag){
		if (flag<0)
			reverse(w+1,w+n);
		For(i,0,n-1)
			if (i<R[i])
				swap(a[i],a[R[i]]);
		for (int t=n>>1,d=1;d<n;d<<=1,t>>=1)
			for (int i=0;i<n;i+=d<<1)
				for (int j=0;j<d;j++){
					int tmp=(LL)w[t*j]*a[i+j+d]%mod;
					a[i+j+d]=del(a[i+j]-tmp);
					Add(a[i+j],tmp);
				}
		if (flag<0){
			reverse(w+1,w+n);
			int inv=Pow(n,mod-2);
			For(i,0,n-1)
				a[i]=(LL)a[i]*inv%mod;
		}
	}
}
using poly::FFT;
int n,m;
int a[N];
int C[M][M],S[M][M],Fac[N],Inv[N];
int v1[M],v2[M];
void prework(){
	int n=M-1;
	For(i,0,n)
		C[i][0]=C[i][i]=1;
	S[0][0]=1;
	For(i,1,n)
		For(j,1,i){
			C[i][j]=add(C[i-1][j-1]+C[i-1][j]);
			Add(S[i][j]=S[i-1][j-1],(LL)S[i-1][j]*j%mod);
		}
	n=m;
	For(i,0,n)
		For(j,0,i)
			Add(v1[j],(LL)C[n][i]*S[i][j]%mod);
	n=m*2;
	For(i,0,n)
		For(j,0,i)
			Add(v2[j],(LL)C[n][i]*S[i][j]%mod);
	n=N-1;
	for (int i=Fac[0]=1;i<=n;i++)
		Fac[i]=(LL)Fac[i-1]*i%mod;
	Inv[n]=Pow(Fac[n],mod-2);
	Fod(i,n,1)
		Inv[i-1]=(LL)Inv[i]*i%mod;
}
int f[N*M],g[N*M];
int Hash(int i,int j){
	return (i-1)*(m*2+1)+j;
}
int f1[Len],f2[Len],g1[Len],g2[Len],f3[Len],g3[Len];
int Solve(int L,int R){
	if (L==R)
		return m*2;
	int mid=(L+R)>>1;
	int l1=Solve(L,mid),l2=Solve(mid+1,R);
	int p1=Hash(L,0),p2=Hash(mid+1,0);
	int s,d;
	for (s=1,d=0;s<l1+l2+1;s<<=1,d++);
	poly::init(s,d);
	For(i,0,s-1)
		f1[i]=f2[i]=g1[i]=g2[i]=0;
	For(i,0,l1)
		f1[i]=f[i+p1],g1[i]=g[i+p1];
	For(i,0,l2)
		f2[i]=f[i+p2],g2[i]=g[i+p2];
	FFT(f1,s,1),FFT(g1,s,1);
	FFT(f2,s,1),FFT(g2,s,1);
	For(i,0,s-1){
		f3[i]=(LL)f1[i]*f2[i]%mod;
		g3[i]=((LL)f1[i]*g2[i]+(LL)g1[i]*f2[i])%mod;
	}
	FFT(f3,s,-1),FFT(g3,s,-1);
	int pR=Hash(R+1,0);
	For(i,p1,pR-1)
		f[i]=g[i]=0;
	For(i,0,s-1)
		if (i+p1<pR)
			f[i+p1]=f3[i],g[i+p1]=g3[i];
		else
			break;
	int len=pR-1;
	while (!f[len]&&!g[len]&&len>p1)
		len--;
	while (len-p1>n)
		f[len]=g[len]=0,len--;
	return len-p1;
}
int Exp[Len];
int main(){
	n=read(),m=read();
	For(i,1,n)
		a[i]=read();
	prework();
	For(i,1,n){
		int tmp=1;
		For(j,0,m){
			f[Hash(i,j)]=(LL)v1[j]*tmp%mod;
			tmp=(LL)tmp*a[i]%mod;
		}
		tmp=1;
		For(j,0,m*2){
			g[Hash(i,j)]=(LL)v2[j]*tmp%mod;
			tmp=(LL)tmp*a[i]%mod;
		}
	}
	int len=Solve(1,n),Sum=0;
	For(i,1,n)
		Add(Sum,a[i]);
	For(i,0,n)
		Exp[i]=(LL)Inv[i]*Pow(Sum,i)%mod;
	int L=1,d=0;
	for (;L<len+n+1;L<<=1,d++);
	poly::init(L,d);
	FFT(Exp,L,1),FFT(g,L,1);
	For(i,0,L-1)
		g[i]=(LL)g[i]*Exp[i]%mod;
	FFT(g,L,-1);
	int ans=(LL)g[n-2]*Fac[n-2]%mod;
	For(i,1,n)
		ans=(LL)ans*a[i]%mod;
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}