洛谷 P2678 & [NOIP2015提高组] 跳石头
题目链接
https://www.luogu.org/problemnew/show/P2678
题目背景
一年一度的“跳石头”比赛又要开始了!
题目描述
这项比赛将在一条笔直的河道中进行,河道中分布着一些巨大岩石。组委会已经选择好了两块岩石作为比赛起点和终点。在起点和终点之间,有 N 块岩石(不含起点和终点的岩石)。在比赛过程中,选手们将从起点出发,每一步跳向相邻的岩石,直至到达终点。
为了提高比赛难度,组委会计划移走一些岩石,使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长。由于预算限制,组委会至多从起点和终点之间移走 M 块岩石(不能移走起点和终点的岩石)。
输入输出格式
输入格式:
第一行包含三个整数 L,N,M,分别表示起点到终点的距离,起点和终点之间的岩石数,以及组委会至多移走的岩石数。保证 L≥1且 N≥M≥0。
接下来 N 行,每行一个整数,第 i 行的整数 Di(0<Di<L), 表示第 i 块岩石与起点的距离。这些岩石按与起点距离从小到大的顺序给出,且不会有两个岩石出现在同一个位置。
输出格式:
一个整数,即最短跳跃距离的最大值。
输入输出样例
输入样例:
25 5 2
2
11
14
17
21
输出样例:
4
说明
输入输出样例 1 说明:将与起点距离为 2和 14 的两个岩石移走后,最短的跳跃距离为 4(从与起点距离 17 的岩石跳到距离 21 的岩石,或者从距离 21 的岩石跳到终点)。
另:对于 20%的数据,0≤M≤N≤10。
对于50%的数据,0≤M≤N≤100。
对于 100%的数据,0≤M≤N≤50,000,1≤L≤1,000,000,000。
解题思路
首先看一下数据范围,发现暴力枚举时间肯定会炸(除非你只是想拿部分分),所以这里我们要用到一个新的算法——二分答案。
什么叫二分答案呢??
顾名思义,二分答案就是把一组数据每次分成两部分,就是把大问题转化成小问题。例如猜数游戏,猜1-100的一个数,就先猜50,若小了,就猜75,若大了,就猜25,就这样一直猜下去,最终找到答案。
而我们每一次猜的这个答案就是所求范围内的数据的中间数据,这就是二分答案。这个二分的中间数据就是指要求的内容。
二分答案需要满足一个什么样的性质呢?
- 有一个确定的范围
- 答案只有一个
- 答案必须满足单调性(连续上升或下降)
二分的两种形式:
上文是介绍对细节的处理。
此题解法:
搞明白二分答案后,我们就来看看这道经典题目。
一眼看到题目中的这一句话:使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长,当出现最小值最大或最大值最小或求最大值、最小值时,就可以考虑一下二分了。
很显然,这道题我们求的是最短距离,所以我们二分的就是最短距离。
首先验证答案具有单调性:拿走的石头越多,最短跳跃距离越大,这就叫答案的单调性。
然后进行实现。我们假设最短跳跃距离为mid,那么显然0<mid<L,所以我们就先让左端点l=0,右端点r=L,每次mid取中间值mid=(l+r+1)>>1,这里采用的是第二种形式。接着我们写一个check函数,判断一下这个mid是否合法,如果合法,就尝试找一找有没有一个值比mid更大(l=mid),如果不合法,就把mid减小(r=mid-1)。
那check函数怎么写呢?我们遍历一遍每一块石头,累计出有多少块石头之间的间隔<=mid,如果超过m个,就不合法,如果小于等于m,就合法。、
具体看代码。
#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,L;
int a[];
bool check(int x){ //check函数判断这个最短跳跃距离x是否合法
int last=; //last表示的是上一块石头的位置
int cnt=; //cnt用来计数
for(int i=;i<=n+;i++) { //枚举每一块石头
if(a[i]-last<x) cnt++; //如果这一块石头和上一块石头的距离比x小,计数+1。而且如果石头移走,last还是上一块石头的位置。
else last=a[i]; //否则这块石头就不必移走,last=这块石头的位置。
}
if(cnt>m) return ; //cnt如果超过m个,就不合法。
else return ; //cnt如果小于等于m,就合法。
}
int main()
{
cin>>L>>n>>m;
for(int i=;i<=n;i++) cin>>a[i];
a[n+]=L; //注意这个一共有n+2块石头(起点和终点)
int l=,r=L; //注意l和r都是最短跳跃距离的边界,而不是石头的边界。
while(l<r){
int mid=(l+r+)>>; //取中点,用的是第二种形式。
if(check(mid)) l=mid; //分别处理
else r=mid-;
}
cout<<l; //退出循环后一定是l==r,所以输出什么都可以。
return ;
}
AC代码
//NOIP2015提高组 Day2 t1
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