「AC自动机」学习笔记

AC自动机（Aho-Corasick Automaton），虽然不能够帮你自动AC，但是真的还是非常神奇的一个数据结构。AC自动机用来处理多模式串匹配问题，可以看做是KMP（单模式串匹配问题）的升级版。常常见到这样的说法，AC自动机 = Trie树 + KMP。

原理初步

首先对于所有的模式串，我们先需要利用Trie树将其建起来。AC自动机最巧妙的部分在于失配指针（fail）的构建，也就类似KMP中的next数组，只不过现在变为了多模式串。在匹配的时候沿着trie树走，发现不匹配即跳转失配指针，因此复杂度已经达到了理论下界$O(n + L*m) （其中L表示模式串数量）$

构建Trie树

最基本的Trie树的建立。其中End表示单词结尾

inline void Insert(char* s){
    , c;
    ; i < len; ++i){
        c = s[i] - 'a';
        if(!ch[u][c]) ch[u][c] = ++num_node;
        u = ch[u][c];
    }
    End[u]++;
}

构造失配指针

何为失配指针？对于任意一个节点$u$，$fail[u]$表示当节点$u$失配时它所应当到达的最优位置。暴力的做法中，当一个节点失配，我们即要从本次的开头往后移一格为开头重新匹配。就像KMP一样，我们的优化也就在于是不是只移一格？移动之后是否还从头开始匹配？

容易发现，如果我们移动一格以后没有东西与它匹配，那么以它作为开头毫无意义。而我们又不想浪费我们的历史信息。可以这样考虑——当我们确定一个新的开头时，为了考虑完全所有情况，我们要在理想情况下使得符合要求的开头的这一段长度尽量长。——当有一个部分失配的时候，意味着前面部分全部匹配。因此我们要考虑跳转一个位置，这个位置是当前已经匹配的这个串的最长公共前缀。因此我们又可以知道fail的另一个意义：指向当前节点所对应的串的最长公共前缀字符串的结尾节点。

那么具体怎么找呢？联系到KMP算法，KMP算法求解next数组是一个不断迭代的过程，如果$s[i]≠s[k]$，则不停做$k=next[k]$……直到找到$s[i]=s[k]$才能够转移。那么AC自动机也一样，不停做$u=fail[u]$，直到这两个节点相等。此时构建fail指针即可。事实上，它的原理和KMP一模一样

然而这里并不是一个模式串，我们要以什么顺序去遍历构造fail指针呢？既然想构造一个节点的fail需要访问诸多别的模式串的父亲节点，并且它访问的节点的深度不可能比自己还大（因为是前缀），所以采用BFS顺序来遍历即可

进行匹配

　　构造好了fail指针，现在要正式进行匹配了。其实还是和KMP一样。逐位比较，不停fail直到当前位匹配为止，然后按照文本串的下一位继续走下去，如果不行继续fail。如果到达某一个单词的结尾了，意味着找到了一个匹配。

　　但是有一个问题，如果有两个模式串$\{abcd\}\{bcd\}$时，当找到$\{abcd\}$匹配时，\{bcd\}肯定能够匹配。然而Trie树是前缀树，这两个模式串将会被分开建。那怎么办？因此找到一个串匹配时，还应当往回找所有该单词的后缀（Suffix）。一般的做法就是沿着fail不停往上走即可。（fail指针的另一个意义）

到目前为止，AC自动机就可以告一段落了。

Trie图

对AC自动机进行一些改进，原来的Trie树就变成了Trie图。事实上在实践中，人们常常会使用的是Trie图，它的效率更高，实现也更简单。Trie图的思想是可以补全Trie树中那些不存在的节点。

当一个真实存在的节点ch[u][i]在构建fail时，不再需要使用while语句，而是直接将fail指针直接连接到其父亲fail指针的相应儿子上，即使那个相应儿子根本不存在。

fail[ch[u][i]] = ch[fail[u]][i]

而对于一个节点所有不存在的儿子，把这些儿子直接作为失配的一个传送门，传送到应当到达的地点。

ch[u][i] = ch[fail[u]][i]

为什么这样做会是正确的呢？

想一想，何为失配？对于Trie树来说，失配就是预期到达的那个子节点不存在。因此我们通过赋值，令一个不存在的节点实际上是一个传送门。对于一个不存在的子节点ch[u][i]，我们直接将它传送到其父亲的失配指针的相应节点——如果该相应节点存在那么最好；如果不存在，那么我们将会传送到一个传送门那里，因此继续被传送。注意这里的传送是连续的，因此其实它所指向的是另一个点，而那个点有可能指向另一个点，所以实际上指的有可能是一个很遥远的点。所以实际如果一直不存在，走一步也许就会被一直传送直到那个点存在。如果一路不存在，那也就指回了根节点。

那么对于一个存在的节点，我们也类似的，很草率的直接把它的fail设置成为它父亲相应的子节点，如果不存在，那么一样，是个传送门。特别注意，一个不存在的节点是没有fail的，因为它本身就是一个fail。

事实上我认为，如果仅仅只是为了判断是否匹配，那么根本不需要让真实存在的点有$fail$指针。恰恰，真实存在的节点的$fail$在这里存在的意义是为了统计匹配。当一个节点匹配一个模式串时，其所有后缀必定匹配。而此时我们需要通过这一步$fail$往上走。

Trie图实现的getFail：

inline void getFail(){
    ;
    ; i < ; ++i){
        ][i]){
            fail[ch[][i]] = ;
            q.push(ch[][i]);//这些单词的起始点的fail直接指向根节点
        }
    }
    while(!q.empty()){
        u = q.front(); q.pop();
        ; i < ; ++i){
            if(ch[u][i]){
                fail[ch[u][i]] = ch[fail[u]][i];//该节点存在，fail直接指向父节点的相应节点。
                q.push(ch[u][i]);//BFS，节点存在就需要入队。注意叶子结点也是会入队的
            }
            else ch[u][i] = ch[fail[u]][i];//如果不存在，就作为一个fail指针指向那个相应节点
        }
    }
} 

那么用Trie图进行匹配就更简单了。事实上，如果不是要统计所有的后缀链接，都不需要调用fail指针，因为失配的情况可以一视同仁

inline int AC_automaton(char* s){
    int len = strlen(s);
    ,v,ans=;
    ; i < len; ++i){
        u = ch[u][s[i]-'a'];//一视同仁地走到下一步
        ; v = fail[v]){
            if(!End[v]) break;
            ans += End[v], End[v]=;
        }
    }
    return ans;
}