Luogu5162 WD与积木（生成函数+多项式求逆）

　　显然的做法是求出斯特林数，但没有什么优化空间。

　　考虑一种暴力dp，即设f[i]为i块积木的所有方案层数之和，g[i]为i块积木的方案数。转移时枚举第一层是哪些积木，于是有f[i]=g[i]+ΣC(i,j)·f[i-j]，g[i]=ΣC(i,j)·g[i-j] (j=1~i)。

　　考虑优化 。我们发现这个转移非常像卷积。写成卷积形式，有f[i]=g[i]+Σi!·Σf[i-j]/j!/(i-j)!，g[i]=i!·Σg[i-j]/j!/(i-j)!。直接分治NTT即可。

　　诶是不是强行多了个log？考虑构造出生成函数。g比较简单，将该式写成g[i]/i!=Σg[i-j]/j!/(i-j)!，设g[i]/i!生成函数为G(x)，inv(i!)生成函数为H(x)，则有G(x)=G(x)·H(x)-G(x)+1，也即G(x)=1/(2-H(x))。f同样写成f[i]/i!=g[i]/i!+Σf[i-j]/j!/(i-j)!，则有F(x)=G(x)+F(x)·H(x)-F(x)-1，也即F(x)=G(x)·(G(x)-1)。多项式求逆即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define P 998244353
#define N 100010
char getc(){char c=getchar();while ((c<'A'||c>'Z')&&(c<'a'||c>'z')&&(c<''||c>'')) c=getchar();return c;}
int gcd(int n,int m){return m==?n:gcd(m,n%m);}
int read()
{
    int x=,f=;char c=getchar();
    while (c<''||c>'') {if (c=='-') f=-;c=getchar();}
    while (c>=''&&c<='') x=(x<<)+(x<<)+(c^),c=getchar();
    return x*f;
}
int T,n,t,r[<<],f[<<],g[<<],h[<<],tmp[<<];
int ksm(int a,int k)
{
    int s=;
    for (;k;k>>=,a=1ll*a*a%P) if (k&) s=1ll*s*a%P;
    return s;
}
int inv(int a){return ksm(a,P-);}
void DFT(int *a,int n,int g)
{
    for (int i=;i<n;i++) if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    for (int i=;i<=n;i<<=)
    {
        int wn=ksm(g,(P-)/i);
        for (int j=;j<n;j+=i)
        {
            int w=;
            for (int k=j;k<j+(i>>);k++,w=1ll*w*wn%P)
            {
                int x=a[k],y=1ll*w*a[k+(i>>)]%P;
                a[k]=(x+y)%P,a[k+(i>>)]=(x-y+P)%P;
            }
        }
    }
}
void mul(int *a,int *b,int n,int op)
{
    for (int i=;i<n;i++) r[i]=(r[i>>]>>)|(i&)*(n>>);
    DFT(a,n,),DFT(b,n,);
    if (op==) for (int i=;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%P;
    else for (int i=;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*(P+-1ll*a[i]*b[i]%P)%P;
    DFT(a,n,inv());
    int t=inv(n);
    for (int i=;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*t%P;
}
void getinv(int n)
{
    g[]=;
    for (int i=;i<=n;i<<=)
    {
        for (int j=i;j<(i<<);j++) tmp[j]=;
        for (int j=;j<i;j++) tmp[j]=h[j];
        mul(g,tmp,i<<,);
        for (int j=i;j<(i<<);j++) g[j]=;
    }
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("a.out","w",stdout);
    const char LL[]="%I64d\n";
#else
    const char LL[]="%lld\n";
#endif
    T=read();int t=;while (t<=(N<<)) t<<=;
    h[]=h[]=;for (int i=;i<=N;i++) h[i]=P-1ll*(P/i)*h[P%i]%P;
    for (int i=;i<=N;i++) h[i]=1ll*h[i]*h[i-]%P;
    for (int i=;i<=N;i++) h[i]=(P-h[i])%P;
    h[]=(h[]+)%P;
    getinv(t);
    for (int i=N+;i<t;i++) g[i]=;
    memcpy(f,g,sizeof(f));f[]--;if (f[]<) f[]+=P;
    mul(f,g,t,);DFT(g,t,inv());int u=inv(t);for (int i=;i<t;i++) g[i]=1ll*g[i]*u%P;
    while (T--)
    {
        n=read();
        printf("%d\n",1ll*f[n]*inv(g[n])%P);
    }
    return ;
}