剑指Offer——回溯算法

什么是回溯法

回溯法实际是穷举算法，按问题某种变化趋势穷举下去，如某状态的变化用完还没有得到最优解，则返回上一种状态继续穷举。回溯法有“通用的解题法”之称，其采用了一种“走不通就掉头”思想作为其控制结构，用它可以求出问题的所有解和任意解。

它的应用很广泛，很多算法都用到回溯法，例如，迷宫，八皇后问题，图的m着色总是等都用到回溯法，当然其中还使用了其他策略。

解的表示

回溯法搜索一条路径，这条路径的节点都满足约束条件。

既然，回溯法搜索的是路径，因此可用数组A[0,1,2，。。。，N-1]表示。其中A[i]表示第i个节点的取值。

基本思想

回溯法从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间（一般为树结构空间）。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。

在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。

如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。换句话说，这个结点不再是一个活结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。

回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。

许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：

（1）针对所给问题，定义问题的解空间；

（2）确定易于搜索的解空间结构；

（3）以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

迷宫问题(参见《数据结构》（严蔚敏）)

计算机解迷宫时，通常用的是"试探和回溯"的方法，即从入口出发，顺某一方向向前探索，若能走通，则继续往前走；否则沿原路退回，换一个方向再继续探索，直至所有可能的通路都探索到为止,如果所有可能的通路都试探过，还是不能走到终点，那就说明该迷宫不存在从起点到终点的通道。

1．从入口进入迷宫之后，不管在迷宫的哪一个位置上，都是先往东走，如果走得通就继续往东走，如果在某个位置上往东走不通的话，就依次试探往南、往西和往北方向，从一个走得通的方向继续往前直到出口为止；

2．如果在某个位置上四个方向都走不通的话，就退回到前一个位置，换一个方向再试，如果这个位置已经没有方向可试了就再退一步，如果所有已经走过的位置的四个方向都试探过了，一直退到起始点都没有走通，那就说明这个迷宫根本不通；

3．所谓"走不通"不单是指遇到"墙挡路"，还有"已经走过的路不能重复走第二次"，它包括"曾经走过而没有走通的路"。显然为了保证在任何位置上都能沿原路退回，需要用一个"后进先出"的结构即栈来保存从入口到当前位置的路径。并且在走出出口之后，栈中保存的正是一条从入口到出口的路径。

由此，求迷宫中一条路径的算法的基本思想是：

若当前位置"可通"，则纳入"当前路径"，并继续朝"下一位置"探索；若当前位置"不可通"，则应顺着"来的方向"退回到"前一通道块"，然后朝着除"来向"之外的其他方向继续探索；若该通道块的四周四个方块均"不可通"，则应从"当前路径"上删除该通道块。

设定当前位置的初值为入口位置；

　　do{

　　　若当前位置可通，

　　　则{

　　　　　将当前位置插入栈顶；　　　　　　// 纳入路径

　　　　　若该位置是出口位置，则算法结束；

　　　　　　// 此时栈中存放的是一条从入口位置到出口位置的路径

　　　　　否则切换当前位置的东邻方块为新的当前位置；

　　　　 }

　　　否则

　　　{

　　　　若栈不空且栈顶位置尚有其他方向未被探索，

　　　　则设定新的当前位置为: 沿顺时针方向旋转找到的栈顶位置的下一相邻块；

　　　　若栈不空但栈顶位置的四周均不可通，

　　　　则{ 删去栈顶位置；　　　　　　　　// 从路径中删去该通道块

　　　　　　若栈不空，则重新测试新的栈顶位置，

　　　　　　直至找到一个可通的相邻块或出栈至栈空；

　　　　　}

} while (栈不空)；

注

有关栈的讲解详见博文《剑指Offer——栈的java实现和栈的应用举例》。

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