[bzoj3625][Codeforces 250 E]The Child and Binary Tree（生成函数＋多项式运算＋FFT）

3625: [Codeforces Round #250]小朋友和二叉树

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Description

我们的小朋友很喜欢计算机科学，而且尤其喜欢二叉树。
考虑一个含有n个互异正整数的序列c[1],c[2],...,c[n]。如果一棵带点权的有根二叉树满足其所有顶点的权值都在集合{c[1],c[2],...,c[n]}中，我们的小朋友就会将其称作神犇的。并且他认为，一棵带点权的树的权值，是其所有顶点权值的总和。
给出一个整数m，你能对于任意的s(1<=s<=m)计算出权值为s的神犇二叉树的个数吗？请参照样例以更好的理解什么样的两棵二叉树会被视为不同的。
我们只需要知道答案关于998244353(7*17*2^23+1,一个质数)取模后的值。

Input

第一行有2个整数 n,m(1<=n<=10^5; 1<=m<=10^5)。
第二行有n个用空格隔开的互异的整数 c[1],c[2],...,c[n]（1<=c[i]<=10^5)。

Output

输出m行，每行有一个整数。第i行应当含有权值恰为i的神犇二叉树的总数。请输出答案关于998244353(=7*17*2^23+1,一个质数)取模后的结果。

Sample Input

样例一：
2 3
1 2
样例二：
3 10
9 4 3
样例三：
5 10
13 10 6 4 15

Sample Output

样例一：
1
3
9
样例二：
0
0
1
1
0
2
4
2
6
15
样例三：
0
0
0
1
0
1
0
2
0
5

HINT

对于第一个样例，有9个权值恰好为3的神犇二叉树：

Source

VFleaKing & pyx1997 感谢wyl8899提供中文翻译

https://www.cnblogs.com/neighthorn/p/6497364.html

利用了二叉树的递归定义，注意空树情况要加一，因为生成函数的$x^0$为$0$，也就是默认了根节点必须有数。

剩下的就是多项式开根和逆元了。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 typedef long long ll;
 using namespace std;
 
 const int N=(<<)+,P=,g=,inv2=(P+)/;
 int n,x,m,c[N],a[N],f[N],t[N],ib[N],rev[N];
 
 int ksm(ll a,int b){
    ll res;
    for (res=; b; a=(a*a)%P,b>>=)
       if (b & ) res=res*a%P;
    return res;
 }
 
 void DFT(int a[],int n,int f){
    rep(i,,n-) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for (int i=; i<n; i<<=){
       ll wn=ksm(g,(f==) ? (P-)/(i<<) : (P-)-(P-)/(i<<));
       for (int j=,p=i<<; j<n; j+=p){
          ll w=;
          for (int k=; k<i; k++,w=1ll*w*wn%P){
             int x=a[j+k],y=1ll*w*a[i+j+k]%P;
             a[j+k]=(x+y)%P; a[i+j+k]=(x-y+P)%P;
          }
       }
    }
    if (f==-){
       int inv=ksm(n,P-);
       rep(i,,n-) a[i]=1ll*a[i]*inv%P;
    }
 }
 
 void inverse(int a[],int b[],int l){
    if (l==){ b[]=ksm(a[],P-); return; }
    inverse(a,b,l>>);
    int n=,L=; while (n<(l<<))n<<=,L++;
    rep(i,,n-) rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)<<(L-));
    rep(i,,l-) t[i]=a[i];
    rep(i,l,n-) t[i]=;
    DFT(t,n,); DFT(b,n,);
    rep(i,,n-) b[i]=1ll*b[i]*(-1ll*t[i]*b[i]%P+P)%P;
    DFT(b,n,-);
    rep(i,l,n-) b[i]=;
 }
 
 void Sqrt(int a[],int b[],int l){
    if (l==) { b[]=; return; }
    Sqrt(a,b,l>>);
    int n=,L=; while (n<(l<<)) n<<=,L++;
    rep(i,,n-) ib[i]=;
    inverse(b,ib,l);
    rep(i,,n-) rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)<<(L-));
    rep(i,,l-) t[i]=a[i];
    rep(i,l,n-) t[i]=;
    DFT(t,n,); DFT(b,n,); DFT(ib,n,);
    rep(i,,n-) b[i]=1ll*inv2*(b[i]+1ll*t[i]*ib[i]%P)%P;
    DFT(b,n,-);
    rep(i,l,n-) b[i]=;
 }
 
 int main(){
    freopen("bzoj3625.in","r",stdin);
    freopen("bzoj3625.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m); c[]=;
    rep(i,,n) scanf("%d",&x),c[x]-=;
    rep(i,,m) if (c[i]<) c[i]+=P;
    int len=; while (len<=m) len<<=;
    Sqrt(c,a,len);
    a[]++; if (a[]>=P) a[]-=P;
    inverse(a,f,len);
    rep(i,,m) printf("%d\n",f[i]*%P);
    return ;
 }