bzoj 3122 [Sdoi2013]随机数生成器（逆元，BSGS）

Description

Input

输入含有多组数据，第一行一个正整数T，表示这个测试点内的数据组数。 
 
接下来T行，每行有五个整数p，a，b，X1，t，表示一组数据。保证X1和t都是合法的页码。

注意：P一定为质数

Output

共T行，每行一个整数表示他最早读到第t页是哪一天。如果他永远不会读到第t页，输出-1。

Sample Input

3
7 1 1 3 3
7 2 2 2 0
7 2 2 2 1

Sample Output

1
3
-1

HINT

0<=a<=P-1,0<=b<=P-1,2<=P<=10^9

【思路】

逆元，BSGS算法

首先特判：a=0，a=1，当a=1时，序列为:

x1,x1+b,x1+2*b
…

即(x1+(n-1)*b) mod p=t，用个乘法逆元可以求出，当逆元为0的时候无解输出-1。

当a>=2时

可以得到通项公式：

xn=[
a^n-1 *(x1+b/(a-1))-b/(a-1) ] mod p

若满足xn=t，则有

a^n-1 = (b* (a-1)^-1 +t) * (b*(a-1)^-1+x1)^-1
mod p

于是可以用BSGS算法求n-1。

需要注意的是各种取模p一定要有。

【代码】

 #include<map>
 #include<cmath>
 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 using namespace std;
 
 typedef long long LL;
 const int N = 1e4+;
 
 LL pow(LL x,LL p,LL MOD) {
     LL ans=;
     while(p) {
         if(p&) ans=(ans*x)%MOD;
         x=(x*x)%MOD;
         p>>=;
     }
     return ans;
 }
 map<LL,int> mp;
 LL BSGS(LL a,LL b,LL MOD) {
     a%=MOD;
     int m=sqrt(MOD)+; mp.clear();
     LL am=pow(pow(a,m,MOD),MOD-,MOD);
     LL x=; mp[]=;
     for(int i=;i<m;i++) {
         x=(x*a)%MOD;
         if(!mp.count(x)) mp[x]=i;
     }
     for(int i=;i<m;i++) {
         if(mp.count(b)) return i*m+mp[b];
         b=(b*am)%MOD;
     }
     return -;
 }
 
 LL p,a,b,x1,t;
 
 int main() {
     //freopen("in.in","r",stdin);
     //freopen("out.out","w",stdout);
     int T;
     scanf("%d",&T);
     while(T--) {
         cin>>p>>a>>b>>x1>>t;
         LL c=pow(a-,p-,p),d,x,y,con,inv;
         if(x1==t) puts(""); else
         if(!a) {
             if(t==b) puts("");
             else puts("-1");
         } else
         if(a==) {
             inv=pow(b,p-,p);
             if(!inv) puts("-1");
             else printf("%lld\n",((inv*(t-x1+p)%p)+p)%p+);
         } else {
             con=((((b*c+t)%p)*(pow((x1+b*c)%p,p-,p)))%p+p)%p;
             printf("%lld\n",BSGS(a,con,p)+);
         }
     }
     return ;
 }